Calculateur volume en ligne

Définition

Le volume est la grandeur qui représente l’espace occupée par un corps. dans une unité de volume donnée.

Les unités de mesures des volumes

L’unité de base utilisée pour mesurer les volumes est le m3 (mètre cube), mais on utilise aussi ses multiples et sous-multiples :

– 1 mètre cube équivaut au volume d’un cube dont les côtés mesurent 1 mètre.

– 1 centimètre cube équivaut au volume d’un cube dont les côtés mesurent 1 centimètre :

Les multiples du mètre cube :

• Le décamètre cube : 1 dam³ est le volume d’un cube de 1 dam de côté.
• L’hectomètre cube : 1 hm³ est le volume cube de 1 hm de côté.
• Le kilomètre cube : 1 km³ est le volume cube de 1 km de côté.

Les sous-multiples du mètre cube :

• Le décimètre cube : 1 dm³ est le volume d’un cube de 1 dm de côté.
• Le centimètre cube : 1 cm³ est le volume d’un cube de 1 cm de côté.
• Le millimètre cube : 1 mm³ est le volume d’un cube de 1 mm de côté.

Unités de capacité

Pour mesurer des capacités, on utilise des unités de volume spécifiques. L’unité de capacité de base est le litre (L) qui est la quantité de liquide que peut contenir un cube d’un décimètre de côté (1L = 1 dm3). On utilise aussi : ses multiples (daL, hL, kL) et ses sous-multiples (dL, cL, mL).

Calculateur volume en ligne :

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Calcul des aires en ligne

Définition

L’aire d’une figure est la mesure de sa surface, dans une unité d’aire donnée

Remarques :

• Il ne faut pas confondre l’aire et le périmètre d’une figure, ce sont deux grandeurs différentes.
• On peut également additionner les parties qui composent la figure pour obtenir l’aire de toute la figure.
• Pour déterminer l’aire d’une figure, on peut couper une partie de la figure et la coller ailleurs.

Les unités de mesures d’aire

L’unité de base utilisée pour mesurer des aires est le m² (mètre carré), mais on utilise aussi ses multiples et sous-multiples :

– 1 mètre carré équivaut à la surface d’un carré dont les côtés mesurent 1 mètre.

– 1 centimètre carré équivaut à la surface d’un carré dont les côtés mesurent 1 centimètre :

Les multiples du mètre carré :

• Le décamètre carré : 1 dam² est l’aire d’un carré de 1 dam de côté.
• L’hectomètre carré : 1 hm² est l’aire d’un carré de 1 hm de côté.
• Le kilomètre carré : 1 km² est l’aire d’un carré de 1 km de côté.

Les sous-multiples du mètre carré :

• Le décimètre carré : 1 dm² est l’aire d’un carré de 1 dm de côté.
• Le centimètre carré : 1 cm² est l’aire d’un carré de 1 cm de côté.
• Le millimètre carré : 1 mm² est l’aire d’un carré de 1 mm de côté.

Les unités agraires

Il existe également des unités d’aire agraires (c’est-à-dire relatives aux terrains, aux champs, aux bois,…)

• 1 are : 1 a = 1 dam²
• 1 hectare : 1 ha = 1 hm²
• 1 centiare : 1 ca = 1 m²

Formules et calcul des aires en ligne

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Logarithme népérien – Logarithme décimal : Cours, Résumé et exercices corrigés

A- Logarithme_népérien

1- Définition

La fonction logarithme népérien, notée ln, est l’unique primitive de la fonction x → 1/x définie sur ] 0 ; +∞ [ qui s’annule en 1.

La fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle x = e^y ⇔ y = ln x

2- Représentation

Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

Les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.

3- Propriétés de la fonction logarithme népérien

• La fonction ln est définie sur l’intervalle ]0;+∞[
• ln(1) = 0
• Pour tout réel x > 0, ln′(x) = 1/x
• Pour tous nombres réels a et b strictement positifs, on a : ln(a × b) = ln(a)+ln(b)
• Pour tout nombre réel strictement positif a, ln(1/a) = −ln(a)
• Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, ln(a/b) = ln(a)−ln(b)
• Pour tout nombre réel strictement positif a, et pour tout entier relatif n, ln(aⁿ) = n ln(a)
• Pour tout nombre réel strictement positif a,

ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}ln(a)

4- Etude de la fonction logarithme_népérien

4-1. Domaine de définition

• Le domaine de définition de la fonction logarithme est D =]0;+∞[
• Ainsi, dans le cas d’une fonction de la forme f = ln(u), le domaine de définition est donné par les solutions de l’inéquation u(x) > 0.

4-2. Variation de la fonction logarithme_népérien

La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur ]0;+∞[ .

Démonstration

• La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ donc continue sur cet intervalle.
• La dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur ]0;+∞[ par ln′(x) = 1/x. Or si x > 0 alors, 1/x> 0. La dérivée de la fonction ln est strictement positive, donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[

On déduit de ce théorème les propriétés suivantes :

Pour tous réels a et b strictement positifs :

• ln(a) = ln(b) si, et seulement si, a = b
• ln(a) > ln(b) si, et seulement si, a > b

En particulier, puisque ln1 = 0 :

Pour tout réel x strictement positif :

• lnx = 0 si, et seulement si, x = 1
• lnx > 0 si, et seulement si, x > 1
• lnx < 0 si, et seulement si, 0 < x < 1

4-3. Limites de la fonction logarithme népérien

• La fonction ln a pour limite +∞ en +∞ :

\lim_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty 

• La fonction ln a pour limite -∞ en 0 :

\lim_{x\rightarrow 0}x=-\infty 

L’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe d’équation y = lnx

B- Logarithme décimal

La fonction logarithme_népérien est particulièrement intéressante du fait de sa propriété de transformation d’un produit en somme. Mais comme on utilise, pour écrire les nombres, le système décimal, on lui préfère parfois une autre fonction possédant la même propriété de transformation de produit en somme mais prenant la valeur 1 lorsque x = 10 (et donc la valeur 2 lorsque x = 100, la valeur 3 lorsque x = 1000 etc…)

Cette fonction sera appelée fonction logarithme décimal ou fonction logarithme de base 10.

1. Définition de Logarithme décimal

On appelle fonction logarithme décimal et on note log la fonction définie sur ] 0 ; +∞ [ par : log (x)=ln (x)/ln (10)

2. Propriétés de Logarithme décimal

• log 1 = 0 et log 10 = 1
• Pour tous réels a et b strictement positifs on a :
  • log ( a × b ) = log a + log b ;
  • log 1/a = – log a ;
  • log a/ b = log a – log b ;
  • log a^½ = (½) log a
• Pour tout n ∈ Z, log a ⁿ = n log a

3. Remarques :

La fonction logarithme décimal étant définie par log x = k × ln x avec k = 1/ln 10. Il est facile d’étudier ses variations et de donner sa courbe représentative.

Soit a un réel strictement positif tel que a ≠ 1 . On définit de manière analogue la fonction logarithme de base a, notée log a : log_a(x)=log(x)/log(a)

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Fonction exponentielle : Cours, résumé et exercices corrigés

I- Théorème 1

Démonstration.

Soit f une fonction dérivable sur R telle que f′ = f et f(0) = 1.

Soit g la fonction définie sur R par : pour tout réel x, g(x) = f(x) × f(−x).

La fonction g est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x,

g′(x) = f′(x) × f(−x) + f(x) × (−1) × f′(−x) = f′(x)f(−x) − f(x)f′(−x)

= f(x)f(−x) − f(x)f(−x) (car f′ = f)

= 0.

Ainsi, la dérivée de la fonction g est nulle. On sait alors que la fonction g est une fonction constante sur R.

Par suite, pour tout réel x, g(x) = g(0) = (f(0))² = 1.

On a montré que pour tout réel x, f(x)×f(−x) = 1. En particulier, pour tout réel x, f(x)×f(−x) ≠ 0 puis f(x) ≠ 0.

Ainsi, une fonction f telle que f′ = f et f(0) = 1 ne s’annule pas sur R.

II- Théorème 2

Démonstration

Soient f et g deux fonctions dérivables sur R telles que f′ = f, g′ = g, f(0) = 1 et g(0) = 1.

D’après le théorème 1, la fonction g ne s’annule pas sur R. On peut donc poser h = f / g.

La fonction h est dérivable sur R en tant que quotient de fonctions dérivables sur R dont le dénominateur ne s’annule pas sur R et pour tout réel x,

h^{'}(x)=\frac{f^{'}(x)g(x)-f(x)g^{'}(x)}{(g(x))^{2}}=\frac{f(x)g(x)-f(x)g(x)}{(g(x))^{2}}=0

La dérivée de h est nulle sur R. La fonction h est donc constante sur R.

Par suite, pour tout réel x,

h(x)=h(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{1}{1}=1

Ainsi, pour tout réel x, f(x)/g(x) = 1 ou encore, pour tout réel x, f(x) = g(x). On a montré que f = g ou encore on a montré l’unicité d’une fonction f vérifiant la relation f′ = f et f(0) = 1

III- Définition

IV- Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

1- Relation fonctionnelle

2- Le nombre e. Changement de notation

e = exp(1) = 2, 718 . . ..

3- Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Pour tous réels x et y,

a- Propriétés algébriques N°1

exp(-x)=\frac{1}{exp(x)}

Démonstration :

exp(x)\times exp(-x)=exp(x-x)=1 \: donc exp(-x)=\frac{1}{exp(x)}

exp(x-y)=\frac{exp(x)}{exp(y)}

Démonstration :

exp(x-y)=exp(x+(-y))=exp(x)\times exp(-y)=\frac{exp(x)}{exp(y)}

exp(x)^{y}=exp(xy)

Démonstration :

Si b est un nombre positif

exp(x)^{y}=exp(x)\times exp(x)\times exp(x)\times exp(x)\times....\times exp(x) = exp(x+x+x+....+x)= exp(xy)

exp(xy)=exp(x(-(-y))) \: or \:exp(x(-y))=exp(-xy)

exp(xy)=exp(-(-xy))=exp(xy)

exp(\frac{1}{n})^{n}=e

Démonstration :

exp(\frac{1}{n})^{n}=exp(\frac{1}{n}\times n)=exp(1)=e

V- Propriétés analytiques de la fonction exponentielle

1- Sens de variation de la fonction exponentielle

• La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
• La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
• Pour tous réels x et y, exp(x) < exp(y)  ⇔ x < y.
• Pour tous réels x et y, exp(x) = exp(y)  ⇔ x = y.
• Pour tout réel x, exp(x)  > 1 ⇔ x > 0, exp(x)  = 1 ⇔ x = 0, exp(x)  < 1 ⇔ x < 0.

Exercice:

1. Résoudre dans R l’équation exp(−5x+1) = 1.
2. Résoudre dans R l’équation exp(2x) = 0.
3. Résoudre dans R l’équation exp(x2) = exp(4).

Solution

1) Soit x un réel

exp(-5x+1)=1\Leftrightarrow -5x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}

L’ensemble des solutions de l’équation exp(−5x+1) = 1 est : 1/5

2) La fonction exponentielle est strictement positive sur R. Donc l’équation exp(2x) = 0 n’a pas de solution

3) Soit x un réel

exp(x^{2})=exp(4)\Leftrightarrow x^{2}=4\Leftrightarrow x=-2 \:ou \: x=-2

L’ensemble des solutions de l’équation exp(x2) = exp(4 est : {-2;2}

2- Limites de la fonction exponentielle en −∞ et +∞

 \lim_{x\rightarrow +\infty }exp(x)=+\infty

 \lim_{x\rightarrow -\infty }exp(x)=0

\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{exp(x))}{x}=+\infty

\lim_{x\rightarrow -\infty }x.exp(x)=0

Exercice

Calculer les limites suivantes:

 1- \: \lim_{x\rightarrow +\infty }(exp(x)+x+1))

  2- \: \lim_{x\rightarrow -\infty }(exp(x)+x+1))

 1- \:\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}exp(-2x+3)

Solution

1- On a :

\lim_{x\rightarrow +\infty }exp(x)=+\infty

Et d’autre part :

\lim_{x\rightarrow +\infty }x+1=+\infty

En additionnant les deux fonctions, on obtient:

\lim_{x\rightarrow +\infty }(exp(x)+x+1))=+\infty

2- On a :

\lim_{x\rightarrow -\infty }exp(x)=0

Et d’autre part :

\lim_{x\rightarrow -\infty }x+1=-\infty

En additionnant les deux fonctions, on obtient:

\lim_{x\rightarrow -\infty }(exp(x)+x+1))=-\infty

3- On a

\lim_{x\rightarrow -\infty } (-2x+3)=+\infty

\lim_{x\rightarrow -\infty } exp(-2x+3)=\lim_{x\rightarrow +\infty } exp(X)=+\infty

Et d’autre part :

\lim_{x\rightarrow -\infty }x^2=+\infty

En multipliant les deux fonctions, on obtient

\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}exp(-2x+3)=+\infty

3- Graphe de la fonction exponentielle

On connaît déjà le sens de variation de la fonction exponentielle ainsi que les limites de cette fonction en −∞ et +∞. On peut résumer ces différents résultats dans un tableau de variations suivant:

Représentation graphique de la fonction_exponentielle:

4- Dérivée de la fonction exponentielle x ↦ exp(u(x))

Exercice:

Soit f la fonction définie sur R par : Pour tout réel x, f(x) = xexp(−x²).

Déterminer la dérivée de f.

Solution :

Pour tout réel x, posons u(x) = −x² puis g(x) = exp(−x²) = exp(u(x)). La fonction u est dérivable sur R. Donc, la fonction g est dérivable sur R et pour tout réel x,

g′(x) = u′(x)exp(u(x)) = −2xexp(−x²).

On en déduit que f est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x,

f′(x) = 1 × exp(−x²) + x × (−2xexp(−x²)) = exp(−x²) − 2x²exp(−x²) = (1 − 2x²)exp(−x²)

5- Primitives de la fonction exponentielle

1- Les primitives sur R de la fonction x ↦ exp(x) sont les fonctions de la forme x ↦ exp(x) + k où k est un réel.

2- Plus généralement, soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Les primitives sur R de la fonction x ↦ u′(x)eu(x) sont les fonctions de la forme x ↦ eu(x) + k où k est un réel.

En particulier, si a est un réel non nul et b est un réel, les primitives sur R de la fonction x ↦ exp(ax+b) sont les fonctions de la forme x ↦ 1/a exp(ax+b) + k où k est un réel.

VI- conclusion

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Cercle trigonométrique – Cours et exercices corrigés

Un cercle trigonométrique est un cercle C de rayon 1 qui est orienté, ce qui veut dire qu’on a choisi un sens positif (celui des ronds-points) et un sens négatif (celui des aiguilles d’une montre) :

Soit C un cercle trigonométrique de centre O et I, J deux points de C tel que (O,OI,OJ) est un R.O.N. du plan. Alors les axes OI et OJ subdivisent le cercle en quatre quadrants notés : (I), (II), (III) et (IV) :

Soit (T) la tangente à C en I munie du repère (I,OJ ), x ∈ℝ et X(x)∈(T) :

En « enroulant » (T) autour de C à partir du point fixe commun I (vers « le haut » dans le sens positif, vers « le bas » dans le sens négatif), on voit qu’à tout réel x on peut associer un point unique M ∈C . Nous noterons f (x)=M cette correspondance.

De manière générale :

\forall x\in \mathbb{R}, \forall k\in \mathbb{Z}, f(x+k.2\pi)=f(x)

En effet, ajouter k.2π à x revient à faire k tours complets à partir de f (x) = M dans un sens ou dans l’autre (selon le signe de k) pour retomber sur le même point M que x !

Ainsi l’ensemble des nombres x+k .2π (où k ∈ℤ ) caractérise le point M et donc également l’angle IOM . De plus si x ∈[0,2π] alors x est égal à la longueur de l’arc IM  donc tout nombre de la forme x+k .2π est une mesure de la longueur de l’arc IM  à un multiple entier de 2π près ! Ceci nous amène à poser la définition suivante :

Définition

Les nombres x+k .2π (où k ∈ℤ ) sont les mesures en radians (rd) de l’angle IOM et aussi de l’arc IM  . Ainsi :

mes\widehat{IOM}=mes\widehat{IM}= x+2kπ

Exemples :

mes\widehat{IOJ}=\frac{π}{2}+k.2π (k\in \mathbb{Z})

mes\widehat{IOK}=\pi +k.2\pi (k\in \mathbb{Z})

mes\widehat{IOL}=\frac{3\pi}{2}+k.2\pi  (k\in \mathbb{Z})

Chaque angle a donc:

• une infinité de mesures, mais la différence entre deux mesures est toujours un multiple entier de 2π si on mesure en rd, un multiple entier de 360 si on mesure en degrés.,
• une seule mesure comprise entre 0 rd et 2π rd : c’est la plus petite mesure positive.
• une seule mesure comprise entre −π rd et π rd : c’est la mesure principale.

Correspondance entre degrés et radians :

Les transformations se font par une règle de trois :

Exemples :

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Théorème de THALES – Cours et Exercices corrigés

I- Théorème de THALES

I-1 Enoncé du Théorème de Thalès :

• Soit ABC un triangle non aplati
• Soit M un point de la demi-droite [AB), distinct de A.
• Soit N un point de la demi-droite [AC), distinct de A.
• Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC) alors

 \frac { AM }{ AB } =\frac { AN }{ AC } =\frac { MN }{ BC }

I-2 Exemples :

a- Exemple 1

AM = 30; AB = 80; AC = 20. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Calculer AN.

Réponse :

Les droites (MN) et (BC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles AMN et ABC :

 \frac { AM }{ AB } =\frac { AN }{ AC } =\frac { MN }{ BC }

 Soit \quad  \frac { 30 }{ 80 } =\frac { AN }{ 20 } =\frac { MN }{ BC }

Donc  \quad  AN \times  80 = 30 \times  20

 Soit \quad  AN = \frac { 30 \times 20 }{ 80 } =\frac { 30 }{ 4 } = 7.5

b- Exemple 2

(UV) // (JK). IJ = 30 ; IK = 20 ; IU = 10 ; UV = 10. Calculer IV et JK.

Réponse :

Les droites (UV) et (JK) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles IUV et IJK :

 \frac { IJ }{ IV } =\frac { IK }{ IU } =\frac { JK }{ UV }

Soit \quad   \frac { 30 }{ IV } =\frac { 20 }{ 10 } =\frac { JK }{ 10 }

Donc \quad  IV= \frac { 10 }{ 20 } \times30=15 \quad et \quad JK= \frac { 20 }{ 10 } \times10=20

II- Réciproque du Théorème de Thalès

II-1 Enoncé de la réciproque du Théorème de THALES

Si ABC et AMN sont deux triangles tels que

A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre

et \quad   \frac { AM }{ AB } =\frac { AN }{ AC }

Alors, les droites (MN) et (BC) sont parallèles

II-1 Exemples

a- Exemple 1

• AC = 11 ; AE = 22 ;
• CB = 15 ; CF = 30.
• Les droites (AB) et (EF) sont-elles parallèles ?

Réponse :

D'une part \quad \frac { CA }{ CE } =\frac { 11 }{ 33 } =\frac { 1 }{ 3 } 

et \quad d'autre\quad part \quad\quad \frac { CB }{ CF } =\frac { 15 }{ 45 } =\frac { 1 }{ 3 } 

Donc \quad \frac { CA }{ CE } = \frac { CB }{ CF } 

CAB et CEF sont deux triangles tels que C, A, E et C, B, F sont alignés dans cet ordre et CA/CE=CB/CF, donc selon la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (EF) sont parallèles.

b- Exemple 2 :

Démontre que les droites (MN) et (ST) sont parallèles.
On donne OM = 2,8 cm ; ON = 5,4 cm ; OS = 2,7 cm et OT = 1,4 cm.

Réponse :

\frac { OT }{ OM } =\frac { 1.4 }{ 2.8 } =\frac { 1 }{ 2 } \quad  et \quad \frac { OS }{ ON } =\frac { 2.7 }{ 5.4 } =\frac { 1 }{ 2 } 

OST et ONM sont deux triangles tels que S, O, N et T, O, M sont alignés dans cet ordre et OT/OM = OS/ON, donc selon la réciproque du théorème de Thalès les droites (MN) et (ST) sont parallèles.

III- Conséquence du théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles

Si ABC et AMN sont deux triangles tels que :

A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre

et \quad   \frac { AM }{ AB } \neq \frac { AN }{ AC }

alors, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles

Exemple :

On donne AB = 2,5 cm ; BC = 3,3 cm ; AC = 2,4 ; CD = 6 cm et CE = 9 cm. Les droites (ED) et (AB) sont-elles parallèles? Justifie la réponse.

Réponse :

\frac { CA }{ CD } =\frac { 2.4 }{ 6 } =\frac { 2 }{ 5 } \quad  et \quad \frac { CB }{ CE } =\frac { 3.3 }{ 9 } =\frac { 11 }{ 30 } 

Or\quad  \frac { 2 }{ 5 } =\frac { 12 }{ 30 } \neq\frac { 11 }{ 30 }  \quad  donc \quad \frac { CA }{ CD } \neq\frac { CB }{ CE }

CAB et CDE sont deux triangles tels que A, C, D et B, C, E sont alignés dans cet ordre et CA/CD # CB/CE, donc selon la conséquence du théorème de Thalès les droites (ED) et (AB) ne sont pas parallèles.

Remarque : la conséquence du théorème de Thalès se nomme aussi la contraposée du théorème de Thalès.

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Théorème de Pythagore-Cours et Exercices corrigés

I- Théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés.

1- Enoncé du théorème de Pythagore

Si ABC est un triangle rectangle en A alors :

BC² = AB² + AC²

• Avec l’hypoténuse est côté le plus long dans un triangle rectangle : c’est le côté où il n’y a pas d’angle droit.

Le théorème de Pythagore dit plusieurs choses importantes :

• Le théorème ne s’applique que sur le triangle rectangle.
• Le théorème permet de calculer les côtés du triangle rectangle.
• Pour appliquer le théorème, il faut connaître la valeur de 2 côtés pour pouvoir calculer la valeur du 3ème.

2- Exemples d’utilisation du théorème de Pythagore

On connaît 2 côtés du triangle rectangle, il permet de calculer la longueur du troisième côté.

a- Exemple 1 :

• Le triangle ALI est rectangle en A.
• Son hypoténuse est [IL].
• L’énoncé de Pythagore permet d’écrire : IL² = AI² + AL²
• D’après les données, on a: AI=12 et AL=9
• donc IL2 = 144+81= 225
• donc IL=15 cm

b- Exemple 2 :

• Le  triangle  MNP  est  rectangle  en  P. Son  hypoténuse  est  [MN].
•  L’énoncé  de  Pythagore  permet  d’écrire : MN2  =  MP2  +  PN2
• D’après  les  données,  on  a: MN=6,5  et  MP=3,3
• Donc 6,5² = 3,3²+PN² ==> 42,25=10,89+PN²
• On a PN² = 42,25‐10,89 = 31,36
• Donc PN = 5,6 cm

II- La réciproque du théorème de Pythagore

Si dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

1- Enoncé de la réciproque du théorème de Pythagore

Si    le  triangle  ABC  est  tel  que  BC²=AB²+AC²
Alors  il  est  rectangle  en  A.

2- Méthode : Savoir si un triangle est rectangle ou non.

On donne les longueurs des 3 côtés d’un triangle ABC, le triangle est-il rectangle ?

• On repère le côté le plus long et on calcule le carré de sa longueur.
• On calcule la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.
• S’il y a égalité, la réciproque permet d’affirmer que le triangle est rectangle. S’il y a inégalité, le triangle n’est pas rectangle.

3- Exemples

Les triangles suivants sont-ils rectangles ?

Exemple 1 :

• [BC] est le plus grand côté.
• On calcule BC²=7,3^² = 53,29.
• On calcule AB²+AC² = 4,8² +5,5² = 53,29
• On compare : on a l’égalité BC² =AB² +AC²
• d’après la réciproque de l’énoncé de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.

Exemple 2 :

• [ST] est le plus grand côté.
• On calcule ST²=7² = 49.
• calcule RS²+RT² = 4² +6² = 5²
• On compare : on a ST² ≠ RS² +RT²
• donc le triangle RST n’est pas rectangle.

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Dénombrement : Cours-Résumés-Exercices corrigés

Le dénombrement s’emploie à étudier et à dénombrer divers types de groupements que l’on peut faire à partir d’ensembles finis.

Il est né de l’étude des jeux de hasard et s’est fortement développé sous l’influence du calcul des probabilités. Il est par ailleurs lié à la théorie des nombres et à la théorie des graphes.

I- Principes fondamentaux du dénombrement

a- Principe des tiroirs

« Si vous disposez d’une commode avec 5 tiroirs et que vous devez ranger 6 pantalons, alors au moins un des tiroirs contiendra au moins 2 pantalons. »

Plus généralement, si vous avez n « tiroirs » à disposition pour y ranger n+k « objets », alors certains « tiroirs » contiendront plus d’un « objet ».

Exemple :

Dans un village de 400 habitants, peut-on trouver deux personnes qui sont nées le même jour (pas forcément de la même année) ?

Ici, les tiroirs représentent les jours de l’année et les objets les habitants. Seuls 366 habitants peuvent avoir des dates de naissance différentes.

b- Principe de décomposition

Si une opération globale peut se décomposer en k opérations élémentaires successives, ces dernières pouvant s’effectuer respectivement de n1, n2, …, nk manières, alors l’opération globale peut se faire de n1·n2·…·nk manières différentes.

Exemple :

Les localités X et Y sont reliées par trois routes (a, b et c) et les localités Y et Z par deux routes (d et e). Combien y a-t-il de trajets de X à Z en passant par Y ?

Il y a 6 (= 3·2) trajets possibles : (a, d), (a, e), (b, d), (b, e), (c, d), (c, e).

II- Dénombrement : arrangements

Nous savons ce qu’est, par exemple, un arrangement de 3 éléments de E, mais le problème est maintenant de trouver combien on peut former de listes de ce type.

Deux grandes techniques de dénombrement existent, technique de l’arbre et technique des cases

a- Technique de l’arbre :

Il y a 4 choix pour le premier élément de la liste.

Puis, à chaque choix fait pour le premier élément correspond pour le deuxième élément un même nombre de choix : 3. ( = nombre de choix possibles parmi les (4-1) éléments restants, car la liste est sans répétition )

Puis, à chaque choix fait pour le deuxième élément correspond pour le troisième élément un même nombre de choix : 2. ( = nombre de choix possibles parmi les (4-2) éléments restants, car la liste est sans répétition )

En bout de branches, nous récupérons les différents arrangements possibles. A chaque stade de choix, chaque branche « éclatant » en un même nombre de choix, les arrangements possibles sont au nombre de : 4x3x2 = 24.

Soit : (4-0)x(4-1)x(4-2). Ou encore : 4x(4-1)(4-(3-1)).

b- Technique des cases

« Fabriquer » un arrangement de 3 éléments de E, équivaut à remplir les 3 cases suivantes avec des éléments 2 à 2 distincts :

Il y a 4 choix possibles pour le premier élément. Puis le choix du premier élément étant fait, il reste 3 choix possibles pour le deuxième. Et enfin, le choix des deux premiers éléments étant fait, il reste 2 choix possibles pour le dernier.

Remarque : cette technique équivalente à celle de l’arbre, est parfois plus pratique quand par exemple un élément de la liste est connu ainsi que sa position.

Cas général : soit un entier naturel n > 1, et soit p entier naturel tel que : 1 < p < n Le nombre d’arrangements de p éléments d’un ensemble E à n éléments est noté : { A }_{ n }^{ p }

Et en généralisant le raisonnement tenu sur le cas particulier, on a :

III- Dénombrement : permutations

Si p = n, on dénombre alors les permutations d’éléments de E. Sur notre cas particulier, en utilisant par exemple la technique des cases, on trouve qu’il existe : 4x3x2x1 permutations des éléments de E.

Soit : 24 permutations des 4 éléments de E. Plus généralement, une permutation étant un arrangement de n éléments de E, il en existe :

Soit :

Cas général : pour tout entier n > 1

Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est noté : n !

Avec :

IV- Dénombrement : combinaisons

Considérons la combinaison de 3 éléments de E : a ; b ; c.

En permutant ses éléments, il est possible de former des arrangements de 3 éléments de E. Et le nombre de permutations d’un ensemble de 3 éléments étant : 3 !, il est donc possible à partir de cette combinaison de former 6 arrangements de 3 éléments de E.

On peut évidemment faire de même avec les autres combinaisons de 3 éléments de E, obtenant ainsi tous les arrangements de 3 éléments de E.

De plus, deux combinaisons différentes ne peuvent générer deux arrangements identiques.

Donc, si nous notons { C }_{ 4 }^{ 3 } le nombre de combinaisons de 3 éléments de E, par analogie avec la notation { A }_{ 4 }^{ 3 } des arrangements de 3 éléments de E, on a alors :

En effet, les combinaisons possibles sont :

Généralisons ce raisonnement au cas d’une combinaison de p éléments
d’un ensemble E à n éléments. Chaque combinaison de p éléments, par permutations, génère p ! arrangements de p éléments de E.

Donc, avec les notations utilisées précédemment :

Or,

Donc :

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Probabilité : Cours-Résumés -Exercices-corrigés

La théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant l’´étude d’expériences dont le résultat ne peut être prévu avec une totale certitude.

I- Expériences aléatoires et modèles

Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé … sont des expériences aléatoires, car avant de les effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat, résultat qui dépend en effet du hasard.

A cette expérience aléatoire, on associe l’ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités.

• Les sous-ensembles de l’univers Ω sont appelés événements.
• Les événements formés d’un seul élément sont appelés événements élémentaires.
• Etant donné un univers Ω, l’événement Ω est l’événement certain.
• L’ensemble vide est l’événement impossible.
• L’événement formé des éventualités qui sont dans A et dans B est noté A ∩ B et se lit A inter B.
• L’événement formé des éventualités qui sont dans A ou dans B est noté A ∪ B et se lit A union B.
• Etant donné un univers Ω et un événement A, l’ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A constitue un événement appelé événement contraire de A, noté \bar { A }.
• A et B sont incompatibles si et seulement si A ∩ B = ∅.

Pour décrire mathématiquement une expérience aléatoire, on choisit un modèle de cette expérience ; pour cela on détermine l’univers et on associe à chaque événement élémentaire un nombre appelé probabilité.

II- Probabilités sur un ensemble fini

Soit Ω = {a1, a2, …, an} un ensemble fini. on définit une loi de probabilité sur Ω si on choisit des nombres p1, p2, …, pn tels que, pour  tout i, 0 ≤ pi ≤ 1 et p1 + p2 + … + pn = 1 ; pi est la probabilité élémentaire de l’événement {ai} et on note pi = p({ai}) ou parfois plus simplement p(ai).

Propriétés

Equiprobabilité

On dit qu’il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Calculs dans le cas d’équiprobabilité

Dans une situation d’équiprobabilité, si Ω a n éléments et si E est un événement composé de m événements élémentaires : p(E)=\frac { Card\quad E }{ Card\quad \Omega } où card E et card Ω désignent respectivement le nombre d’éléments de E et de Ω. On le mémorise souvent en disant que c’est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.

III- Variables aléatoires

Une variable aléatoire X est une application définie sur un ensemble E muni d’une probabilité P, à valeurs dans R.

• X prend les valeurs x1, x2, …, xn avec les probabilités p1, p2, …, pn définies par : pi = p(X = xi).
• L’affectation des pi aux xi permet de définir une nouvelle loi de probabilité. Cette loi notée PX, est appelée loi de probabilité de X.

Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1, x2, …, xn avec les probabilités p1, p2, …, pn. On appelle respectivement espérance mathématique de X, variance de X et écart-type de X , les nombres suivants :

• l’espérance mathématique est le nombre E(X) défini par : E(X)\sum { i=1 }^{ n }{ ({ p }{ i }{ x }_{ i } } )
• la variance est le nombre V défini par : V(X)=\sum{ i=1 }^{ n }{ { p }{ i }{ ({ x }{ i }-E(X)) }^{ 2 } } =\sum{ i=1 }^{ n }{ { p }{ i }{ { { x }{ i } }^{ 2 }-E(X) }^{ 2 } }
• l’écart – type est le nombre σ défini par : \sigma =\sqrt { V }

IV- Conditionnement

Arbres pondérés

• La somme des probabilités des branches issues d’un même nœud est 1.
• La probabilité de l’événement correspondant à un trajet est le produit des probabilités des différentes branches composant ce trajet.

 Exemple

On jette une pièce.

• Si on obtient pile, on tire une boule dans l’urne P contenant 1 boule blanche et 2 boules noires.
• Si on obtient face, on tire une boule dans l’urne F contenant 3 boules blanches et 2 boules noires.

On peut représenter cette expérience par l’arbre pondéré ci-dessous :

Probabilité conditionnelle

p désigne une probabilité sur un univers fini Ω. A et B étant deux événements de Ω, B étant de probabilité non nulle.

• On appelle probabilité conditionnelle de l’événement A sachant que B est réalisé le réel noté : p(A/B)=\frac { p(A\bigcap { B) } }{ p(A) }
• Le réel p(A /B) se note aussi { p }_{ B }(A) et se lit aussi probabilité de A sachant B

Si A et B sont tous deux de probabilité non nulle, alors les probabilités conditionnelles p(A/B) et p(B/A) sont toutes les deux définies et on a : p(A ∩ B) = p(A/B)p(B) = p(B/A)p(A).

V- Indépendance

 a. Événements indépendants

 A et B sont 2 événements de probabilité non nulle.

• A et B sont indépendants lorsque la réalisation de l’un ne change pas la réalisation de l’autre.
• A et B sont indépendants si et seulement si p(A/B) = p(A) ou p(B/A) = p(A).

Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si ils vérifient une des trois conditions :  p(A/B) = p(A) ou p(B/A) = p(B) ou p( A ∩ B) = p(A)p(B).

 b. Indépendance de deux variables aléatoires

X et Y sont deux variables définies sur l’univers Ω d’une expérience aléatoire ; X prend les valeurs x1, x2, …, xn et Y prend les valeurs y1, y2, …, yq. Définir la loi du couple (X, Y) c’est donner la probabilité pi,j de chaque événement  [(X = xi) et (Y = yj)].

c. Probabilités totales

Soient Ω un univers associé à une expérience aléatoire et n un entier ≥ 2. Les événements A1, A2, …, An forment une partition de Ω si les trois conditions suivantes sont réalisées :

• Pour tout i ∈ {1 ; 2 ;… ; n}, Ai ≠ 0.
• Pour tous i et j (avec i ≠ j) de {1 ;2 ;…n}, Ai ∩ Aj ≠ ∅.
• A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An = E.

Formule des probabilités totales

Soient A1, A2, …, An une partition de l’univers Ω constituée d’événements de probabilités non nulles et B un événement quelconque contenu dans Ω. Alors :

• p(B) = p(B ∩ A1) + p(B ∩ A2) + … + p(B ∩ An) 
• Ou p(B)={ p }{ A1 }(B)\times { p }(A1)+{ p }{ A2 }(B)\times { p }(A2)+KK+{ p }_{ An }(B)\times { p }(An)

VI- Lois de probabilité

 Loi de Bernoulli

Une alternative est une épreuve à deux issues possibles :

• Le succès, noté 1, de probabilité p,
• L’échec, noté 0, de probabilité q = 1 – p.

Sa loi de probabilité est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.

 Exemple

Un dé cubique est mal équilibré : la probabilité d’obtenir 6 est de 1/7.

On appelle succès l’événement « obtenir 6 » et échec « obtenir un numéro différent de 6 ».

Cette expérience qui ne comporte que deux issues suit une loi de Bernoulli. Si On effectue cinq fois cette expérience. On est en présence d’un schéma de Bernoulli.

Théorème

Pour une loi de Bernoulli de paramètre p, l’espérance est p et l’écart type est \sqrt { pq }

 Loi Binomiale

Soit un schéma de Bernoulli constitué d’une suite de n épreuves. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus, alors :

Théorème

Pour une loi Binomiale de paramètres n et p, l’espérance est np et l’écart type est n \sqrt { npq }

Exemple

Dans l’exemple précédent, on appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de succès à l’issue des 5 lancés. On obtient les probabilités suivantes :

P1 =0,3856 ; P2 = 0,1285 ; P3 = 0,0214 ; P4 = 0,0018 ; P5 = 0,0001

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Equations différentielles : Cours-Résumés-Exercices corrigés

Une équation différentielle est une équation :

1- Dont l’inconnue est une fonction (généralement notée y(x) ou simplement y) ;

2- Dans laquelle apparaissent certaines des dérivées de la fonction (dérivée première y’ , ou dérivées d’ordres supérieurs\quad { y }^{ \prime \prime },{ y }^{ (3) },…\quad

Une équation différentielle d’ordre n est une équation de la forme :

f(x,y,{ y }^{ \prime },…,{ y }^{ (n) })=0

où F est une fonction de (n + 2) variables.

I- Équation différentielle linéaire

1- Une équation différentielle d’ordre n est linéaire si elle est de la forme :

{ a }_{ 0 }(x){ y }+{ a }_{ 1 }(x){ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }(x){ y }^{ (n) }=g\left( x \right)

où les ai et g sont des fonctions réelles continues sur un intervalle I ⊂ R.

2- Une équation différentielle linéaire est homogène, ou sans second membre, si la fonction g ci-dessus est la fonction nulle :

{ a }_{ 0 }(x){ y }+{ a }_{ 1 } (x){ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }(x){ y }^{ (n) }=0

3- Une équation différentielle linéaire est à coefficients constants si les fonctions ai ci-dessus sont constantes :

{ a }_{ 0 }{ y }+{ a }_{ 1 }{ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }{ y }^{ (n) }=g\left( x \right)

où les ai sont des constantes réelles et g une fonction continue.

Exemples:

• { y }^{ \prime }+5xy={ e }^{ x } est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre.
• { y }^{ \prime }+5xy=0 est l’équation différentielle homogène associée à la précédente.
• 2{ y }^{ \prime \prime }-3{ y }^{ \prime }+5y=0 est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, sans second membre.
• { y }^{ \prime 2 }-y=x et { y }^{ \prime \prime }.{ y }^{ \prime }-y=0 ne sont pas des équations différentielles linéaires.

II- Équation différentielle linéaire du premier ordre

1- Définition

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type :

{ y }^{ \prime }=a(x)y+b(x)

où a et b sont des fonctions définies sur un intervalle ouvert I de R.

2- Solutions d’une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre { y }^{ \prime }+a(x)y=0 est :

f\left( x \right) =C{ e }^{ (-A(x)) }

où C est une constante réelle et A une primitive de a sur l’intervalle I.

3- Problème de Cauchy – I

Le problème de Cauchy associé à une équation linéaire du premier ordre admet une unique solution.

III- Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants

1- Définition

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants toute équation différentielle de la forme

a{ y }^{ \prime \prime }+b{ y }^{ \prime }+cy=f\left( x \right)

où a, b et c sont trois réels fixés, avec a#0, et f est une fonction de I dans R.

2- Résolution de l’équation linéaire homogène du second ordre

On admettra le théorème de résolution de l’équation linéaire homogène du second ordre suivant :

On considère l’équation

a{ y }^{ \prime \prime }+b{ y }^{ \prime }+cy=0

et son équation caractéristique associée a{ r }^{ 2 }+b{ r }+c=0 . Le tableau ci-dessous donne les solutions de l’équation en fonction du discriminant \triangle ={ b }^{ 2 }-4ac

3- Problème de Cauchy – II

Le problème de Cauchy associé à une équation linéaire du second ordre à coefficients constants admet une unique solution.

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Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension 3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d’analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique. Les travaux de Hermann Günter Grassmann et William Rowan Hamilton sont à l’origine du produit vectoriel défini par Gibbs.

 Le produit vectoriel de deux vecteurs \vec { u } et\vec { v } est le vecteur \vec { w } =\vec { u } \wedge \vec { v } définit par :

• Sa direction est perpendiculaire au plan (\vec { u } ,\vec { v } )
• Son sens est tel que le trièdre (\vec { u } ,\vec { v } ,\vec { w } ) est direct
• Sa norme est : \left| \vec { u } \right| .\left| \vec { v } \right| .\left| \sin { (\vec { u } ,\vec { v } } \right|

Propriétés

• \vec { u } \wedge \vec { v } =-(\vec { v } \wedge \vec { u } )
• \vec { u } \wedge (\vec { v } +\vec { w } )=\vec { u } \wedge \vec { v } +\vec { u } \wedge \vec { w }
• (\vec { u } +\vec { v } )\wedge \vec { w } =\vec { u } \wedge \vec { w } +\vec { v } \wedge \vec { w }
• (k\vec { u } )\wedge \vec { v } =\vec { u } \wedge (k\vec { v } )=k(\vec { u } \wedge \vec { v } )
• Si \vec { u } et\vec { v } sont colinéaires \vec { u } \wedge \vec { v } =\vec { 0 }

Produit vectoriel dans une base orthonormée

Si (\vec { i } ,\vec { j } ,\vec { k } ) est une base orthonormée de plan, on vérifie facilement que :

• \vec { i } \wedge \vec { j } =\vec { k }
• \vec { j } \wedge \vec { k } =\vec { i }
• \vec { k } \wedge \vec { i } =\vec { j }
• \vec { j } \wedge \vec { i } =-\vec { k }
• \vec { k } \wedge \vec { j } =-\vec { i }
• \vec { i } \wedge \vec { k } =-\vec { j }
• \vec { i } \wedge \vec { i } =\vec { j } \wedge \vec { j } =\vec { k } \wedge \vec { k } =0

Applications du produit vectoriel

a-Calcul d’aire d’un triangle/parallélogramme

L’aire A d’un triangle ABC est donnée par :

S=\frac { 1 }{ 2 } \left| \vec { AB } \wedge \vec { AC } \right|

Démonstration : Soit ABC un triangle. On considère la hauteur issue de C. On note h sa longueur.

S=\frac { AB\times h }{ 2 } =\frac { AB\times AC\sin { \alpha } }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \left| \vec { AB } \wedge \vec { AC } \right|

clubsuit L’aire d’un parallélogramme étant le double de l’aire du triangle formé par trois sommets de ce parallélogramme, on a:

S=\left| \vec { AB } \wedge \vec { AC } \right|

b- Moment d’une force

Soit une planche en équilibre au bord d’un muret. Pour la déséquilibrer, on peut poser une charge sur la partie en porte-à-faux, au-dessus du vide. La capacité de cette charge à faire basculer la planche n’est pas la même suivant qu’elle est posée près du muret ou au bout de la planche. De même on peut, au même endroit, placer une charge plus lourde et constater une différence de basculement.

Le « pouvoir de basculement »dépend donc de l’intensité de la force, mais également de la position relative du point d’application de la force, et du point de rotation réel ou virtuel considéré.

On intègre ces trois composantes du problème par le modèle de moment d’une force, qui représente l’aptitude d’une force à faire tourner un système mécanique autour d’un point donné, qu’on nommera pivot.

 Le moment d’une force F s’exerçant au point P par rapport au pivot O, est le vecteur:

\vec { M } =\vec { OP } \wedge \vec { F }

où ∧ désigne le produit vectoriel.

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Produit scalaire : Cours-Résumés-Exercices corrigés

I- Définitions

I-1- Définition initiale

On appelle produit scalaire de deux vecteurs \vec { u } et\quad \vec { v } , le nombre réel noté \vec { u } .\vec { v } tel que :

\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } ({ \left| \vec { u } +\vec { v } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { v } \right| }^{ 2 })

Exemple :

Calculer le produit scalaire \vec { AB } .\vec { AD } pour la figure suivante :

Comme ABCD est un parallélogramme, on a \vec { AB } +\vec { AD } =\vec { AC } donc :

\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 1 }{ 2 } ({ \vec { AC } }^{ 2 }-{ \vec { AB } }^{ 2 }-{ \vec { AD } }^{ 2 })

\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 1 }{ 2 } ({ AC }^{ 2 }-{ AB }^{ 2 }-{ AD }^{ 2 })

\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 1 }{ 2 } (36-16-9)

\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 11 }{ 2 }

I-2- Définition dans un repère orthonormal

Dans un repère orthonormal (O,\vec { i } ,\vec { j } ) le produit scalaire de deux vecteurs   \vec { u } et\vec { v }  de coordonnées respectives (x;y)\quad et\quad (x\prime ;y\prime ) est égal à :

\vec { u } .\vec { v } =\quad xx\prime +yy\prime

On peut aussi utiliser la notation matricielle :

(\begin{matrix} x \ y \end{matrix}).(\begin{matrix} x\prime \ y\prime \end{matrix})=\quad xx\prime +yy\prime

Démonstration

Montrons que cette définition est équivalente à la définition initiale

On rappelle que si un vecteur \vec { u } a pour coordonnées (x; y) alors :

{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }={ \quad x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }

On a alors :

\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } ({ \left| \vec { u } +\vec { v } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { v } \right| }^{ 2 })

\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } \left[ { (x+x\prime ) }^{ 2 }+{ (y+y\prime ) }^{ 2 }-({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })-({ x\prime }^{ 2 }+{ y\prime }^{ 2 }) \right]

\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } \left[ 2xx\prime +2yy\prime \right]

\vec { u } .\vec { v } =\quad xx\prime +yy\prime

Exemple :

Déterminer le produit scalaire :

\vec { AB } .\vec { AC }

\vec { AB } .\vec { AC } =\begin{pmatrix} 3 & -2 \ 0 & -2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -1 & -2 \ 1 & -2 \end{pmatrix}

\vec { AB } .\vec { AC } =\left( \begin{matrix} 1 \ -2 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} -3 \ -1 \end{matrix} \right)

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad 1\times (-3)+(-2)\times (-1)

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad -1

I-3- Définition projective

Le produit scalaire de deux vecteurs \vec { u } et\vec { v } est défini par :

\vec { u } .\vec { v } =\quad \left| \vec { u } \right| \times \left| \vec { v } \right| \times \cos { (\vec { u } ,\vec { v } ) }

Exemple

Déterminer le produit scalaire :

\vec { AB } .\vec { AC }

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad \left| \vec { AB } \right| \times \left| \vec { AC } \right| \times \cos { ({ 60 }^{ \circ }) }

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad AB\times AC\times \cos { ({ 60 }^{ \circ }) }

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad 3\times 2\times \frac { 1 }{ 2 }

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad 3

II- Propriétés

Propriété 1

1- Le produit scalaire est commutatif : \vec { u } .\vec { v } =\quad \vec { v } .\vec { u }

2- Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition de deux vecteurs :\vec { u } .(\vec { v } +\vec { w } )=\quad \vec { u } .\vec { v } +\vec { u } .\vec { w }

3- Le produit scalaire est distributif par rapport à la multiplication par un
scalaire : (a\vec { u } )+(b\vec { v } )=\quad ab\times (\vec { u } .\vec { v } )

4- Si les vecteurs \vec { u } et\vec { v } sont colinéaires et de même sens alors : \vec { u } .\vec { v } =\left| \vec { u } \right| \times \left| \vec { v } \right|

5- Si les vecteurs \vec { u } et\vec { v } sont colinéaires et de sens contraires alors :\vec { u } .\vec { v } =-\left| \vec { u } \right| \times \left| \vec { v } \right|

6 Si les vecteurs \vec { u } et\vec { v } sont perpendiculaires alors : \vec { u } .\vec { v } =\quad 0

III- Projection

Soit deux vecteurs \vec { AB } et\vec { CD } . On appelle K et H les projections orthogonales respectives de C et D sur la droite AB, on a alors :

\vec { AB } .\vec { CD\quad = } \quad AB\quad \times \quad KH

si \vec { AB } et\vec { KH } sont de même sens

\vec { AB } .\vec { CD\quad = } \quad -AB\quad \times \quad KH

si \vec { AB } et\vec { KH } sont de sens contraires

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Dérivées : Cours-Résumés-Exercices corrigés

I- Dérivabilité en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R à valeurs dans R (respectivement C). Soit x0 un réel élément de l’intervalle I.
La fonction f est dérivable en x0 si et seulement si le rapport \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 } a une limite réelle (respectivement complexe) quand x tend vers x0.

Quand f est dérivable en x0, le nombre \lim _{ x\rightarrow x0 }{ \frac { f(x)-f(x0 }{ x-x0 } } s’appelle le nombre dérivé de f en x0 et se note f′(x0).

Ainsi f^{ \prime }\left( x \right) =\lim _{ x\rightarrow x0 }{ \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 } }

La fonction x\rightarrow \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 }est la « fonction taux d’accroissement » de f en x0. Le nombre dérivé en x0 est la valeur limite de la fonction taux en x0.
Si on pose x = x0 + h, on obtient une autre écriture du nombre dérivé :

f^{ \prime }\left( x0 \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x0+h \right) -f\left( x0 \right) }{ h } }

II- Dérivabilité sur un intervalle

• Si une fonction f (x) est dérivable en tout point de l’intervalle I = ]a ; b[, elle est dite dérivable sur l’intervalle I.
• f est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f′ qui à tout a dans I associe f′(a).

III- Dérivabilité et continuité

f est une fonction définie sur un intervalle I, a est un réel de I. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Une fonction dérivable en un point est continue en ce point.

La réciproque est fausse : une fonction continue n’est pas forcément dérivable. Par exemple la fonction y = |x| est continue mais pas dérivable en x = 0 (les dérivées à gauche et à droite ne sont pas égales). Il en est ainsi pour toutes les fonctions possédant des « pointes ».

IV- Dérivées successives

f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Sa fonction dérivée f′ s’appelle la fonction dérivée première (ou d’ordre 1) de f. Lorsque f′ est dérivable sur I, sa fonction dérivée est notée f′′; f′′ est appelée dérivée seconde (ou dérivée d’ordre 2) de f.

De manière récurrente, pour tout entier naturel n ≥ 2, on définit la fonction dérivée n-ième (ou d’ordre n) comme étant la fonction dérivée de la fonction d’ordre n − 1, f(1) = f′ et pour tout n ≥ 2, f(n) = f(n−1)′

Exemple

f:\quad x\rightarrow \cos { (x) } est une fonction sur R et on a f\prime (x)=-\sin { (x) }, f\prime \prime (x)=-\cos { (x) } , f^{ (3) }\left( x \right) =\sin { (x) }, f^{ (4) }\left( x \right) =\cos { (x) } et ainsi de suite…

V- Dérivée d’une fonction composée

 g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et pour tout x de I, u(x) appartient à J.

Alors la fonction f définie par f\left( x \right) =g\circ u(x)=g\left( u(x) \right) est dérivable sur I et pour tout x de I,

f\prime \left( x \right) =u\prime (x)\times g\prime \left( u(x) \right)

Démonstration

Pour tout a ∈ I, pour tout réel h non nul tel que a + h ∈ I,

\frac { f(a+h)−f(a) }{ h } =\frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ h } =\frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ u(a+h)−u(a) } \times \frac { u(a+h)−u(a) }{ h }

Or u est dérivable en a, d’où l \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { u(a+h)−u(a) }{ h } =u\prime (a) }

De plus, u est dérivable en a, u est donc continue en a, ce qui donne : \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad u(a+h)=u(a) }

On a également u(a) ∈ J et g est dérivable sur J, d’où : \lim _{ X\rightarrow u(a) }{ \quad \frac { g(X)−g(u(a)) }{ X−u(a) } =g\prime (u(a)) }

On obtient alors : \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad \frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ u(a+h)−u(a) } =g\prime (u(a)) }

Donc: \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad \frac { f(a+h)−f(a) }{ h } =u\prime (a)\times g\prime (u(a)) }

et g ◦ u est dérivable en a et (g\circ u)\prime (a)=u\prime (a)×g\prime (u(a))

On retrouve ainsi une propriété vue en première : si g(x) = f(ax + b), alors g'(x) =af′(ax + b)

Exemples

• u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction f définie sur I par f(x)=\sqrt { u(x) } est dérivable sur I, et pour tout x de I : f\prime (x)=\frac { u\prime (x) }{ 2\sqrt { u(x) } }
• u est une fonction dérivable sur un intervalle I et n est un entier naturel non nul. Alors la fonction f définie par f(x)={ [u(x)] }^{ n } est dérivable sur I et pour tout x de I : f\prime (x)={ n[u(x)] }^{ n-1 }\times u\prime (x)

VI- Dérivées et opérations sur les fonctions

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un réel. Alors ku, u + v et uv sont dérivables sur I et :

(ku)\prime =ku\prime ;\quad \quad \quad (u+v)\prime =u\prime +v\prime ;\quad \quad \quad (uv)\prime =u\prime v+uv\prime

Si, de plus v ne s’annule pas sur I, alors \frac { 1 }{ v } \quad et\quad \frac { u }{ v } sont dérivables sur I et :

(\frac { 1 }{ v } )\prime =-\frac { v\prime }{ { v }^{ 2 } } \quad et\quad (\frac { u }{ v } )\prime =\frac { u\prime v-uv\prime }{ { v }^{ 2 } }

Remarque : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de leur domaine de définition.

Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :

VII- Dérivées des fonctions usuelles

 Voici un tableau de la dérivée de quelques fonctions usuelles

VIII- Exercices d’applications

Exercices 1

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

1- f est la fonction définie sur [0; +∞[ par : f(x)=(x−1)\sqrt { x }

2- f est la fonction définie sur R \ {−1; 0} par : f(x)=\frac { { 4x }^{ 2 }+x+2 }{ { x }^{ 2 }+x }

Solution :

1- f est dérivable sur ]0; +∞[, et f(x) = u(x)v(x) avec u(x) = x − 1 et v(x)=\sqrt { x }

On a alors u\prime (x)=1 ; v\prime (x)=\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } et f\prime =u\prime v+uv\prime

f′(x)=1×\sqrt { x } +(x−1)×\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } =\sqrt { x } +\frac { x−1 }{ 2\sqrt { x } }

2- f est dérivable sur R \ {−1; 0}, et f(x)=\frac { u(x) }{ v(x) } avec u(x)=4{ x }^{ 2 }+x+2\quad et\quad v(x)={ x }^{ 2 }+x

On a alors : u\prime (x)={ 8x }+1\quad et\quad v\prime (x)={ 2x }+1\quad et\quad f\prime =\frac { u\prime v−uv\prime }{ { v }^{ 2 } }

donc:

f\prime (x)=\frac { ({ 8x }+1)({ x }^{ 2 }+x)−(4{ x }^{ 2 }+x+2)({ 2x }+1) }{ { ({ x }^{ 2 }+x) }^{ 2 } }

Exercice 2

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

1- f est la fonction définie sur R \ {0} par : f(x)=\sin { (\frac { 1 }{ x } } )

2- f est la fonction définie sur R par :f(x)=\cos { ({ x }^{ 2 } } )

Solution

1- f est dérivable sur R \ {0}. Pour tout x ∈ R \ {0}, f(x)=g\circ u(x)\quad ou\quad u(x)=\frac { 1 }{ x } et\quad g(x)=\sin { (x) }

u\prime (x)=-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \quad et\quad g\prime (x)=\cos { (x) }

On a alors :

f\prime (x)=-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \cos { (\frac { 1 }{ x } ) }

2- f est dérivable sur R. Pour tout réel x, f(x)=g\circ u(x)\quad ou\quad u(x)={ x }^{ 2 }\quad et\quad g(x)=\cos { (x) }

\quad u\prime (x)=2{ x }\quad et\quad g\prime (x)=-\sin { (x) }

On a alors :

\quad f\prime (x)=-{ 2x }\sin { ({ x }^{ 2 }) }

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Les séries de Fourier sont un outil de base pour étudier les fonctions périodiques. C’est à partir de ce concept qu’une branche mathématique appelée analyse harmonique a été développée.

L’étude des fonctions périodiques par séries de Fourier est divisée en deux parties :

• L’analyse, qui consiste en la détermination de la suite de ses coefficients de Fourier ;
• La synthèse, qui permet de retrouver, en un certain sens, la fonction à l’aide de la suite de ses coefficients.

La théorie des séries de Fourier établit la correspondance entre les fonctions périodiques et les coefficients de Fourier. Par conséquent, l’analyse de Fourier peut être considérée comme une nouvelle méthode pour décrire les fonctions périodiques. A partir des coefficients de Fourier, vous pouvez simplement écrire des opérations telles que la différenciation. La construction de solutions fonctionnelles périodiques d’équations fonctionnelles peut être simplifiée à la construction de coefficients de Fourier correspondants.

Domaines Applications des séries de Fourier

Les séries de Fourier se rencontrent dans :

• La décomposition de signaux périodiques,
• L’étude des courants électriques,
• L’étude des ondes cérébrales,
• La synthèse sonore,
• Le traitement d’images,
• etc…

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Le théorème central limite est un théorème-clé en théorie des probabilités. Il souligne le rôle central des variables gaussiennes, qui peuvent être vues comme le comportement global d’une multitude de petits phénomènes. Par exemple, les chocs de molécules d’eau sur une molécule de pollen ou les effets des conditions atmosphériques sur le plan de vol d’un avion peuvent être modélisés par des variables gaussiennes. En pratique, quand n ≥ 30, le théorème central limite fournit une bonne approximation de la situation.

Le théorème central limite établit que la loi normale apparait chaque fois que la grandeur aléatoire observée peut être présentée comme la somme d’un nombre suffisamment grand de composantes élémentaires indépendantes ou faiblement liées, dont chacune influe peu sur la somme.

Variable aléatoire discrète et continue

On appelle variable aléatoire discrète X, une fonction qui associe à chaque résultat d’une expérience, une valeur xi inconnue d’avance, parmi un ensemble de valeurs possibles x1, . . . , xn.

On appelle variable aléatoire continue X, une fonction qui associe à chaque résultat d’une expérience, une valeur x inconnue d’avance, sur un ensemble fini ou non de valeurs possibles [a, b].

Théorème central limite

Soient X1, X2, . . . , Xn, des variables aléatoires indépendantes de même loi de répartition, d’espérance mathématique mx et de variance σ². Lorsque n augmente indéfiniment la loi de répartition de la somme :

Plan du cours Théorème central limite

1. Variable aléatoire. Espérance. Moments. Variance.

2. Inégalité de Bienaymé-Tchébychev

3. Fonctions de variables aléatoires

3.1. Somme de deux variables aléatoires

3.2. Produit de deux variables aléatoires

4. Théorème central limite

4.1. Fonction caractéristique

4.2. Fonction caractéristique de la loi normale

4.3. Somme de deux lois normales

4.4. Théorème central limite

5. Les lois des grands nombres

5.1. Théorème de Tchebychev

5.2. Théorème de Tchebychev généralisé

5.3. Théorème de Markov

Liens de téléchargement des cours sur la Théorème_central_limite

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Transformée de Laplace : Cours-Résumés-Exercices corrigés

Une des méthodes les plus efficaces pour résoudre certaines équations différentielles est d’utiliser la transformation de Laplace.

Une analogie est donnée par les logarithmes, qui transforment les produits en sommes, et donc simplifient les calculs.

La transformation de Laplace transforme des fonctions f(t) en d’autres fonctions F(s).

La transformée de Laplace est une transformation intégrale, c’est-à-dire une opération associant à une fonction ƒ une nouvelle fonction dite transformée de Laplace de ƒ notée traditionnellement F et définie et à valeurs complexes), via une intégrale.

la transformation de Laplace est souvent interprétée comme un passage du domaine temps, dans lequel les entrées et sorties sont des fonctions du temps, dans le domaine des fréquences, dans lequel les mêmes entrées et sorties sont des fonctions de la « fréquence ».

Plan du cours Transformée de Laplace

1 Introduction

2 Fonctions CL

3 Définition de la transformation de Laplace

4 Quelques exemples

5 Existence, unicité, et transformation inverse

6 Linéarité

7 Retard fréquentiel ou amortissement exponentiel

8 Calcul de la transformation inverse en utilisant les tables

9 Dérivation et résolution d’équations différentielles

10 Dérivation fréquentielle

11 Théorème du ”retard”

12 Fonctions périodiques

13 Distribution ou impulsion de Dirac

14 Dérivée généralisée des fonctions

15 Changement d’échelle réel, valeurs initiale et finale

16 Fonctions de transfert

16.1 Définition de la fonction de transfert

16.2 Blocks diagrammes

17 Produit de convolution

18 Annexe 1: Décomposition en éléments simples

19 Annexe 2 : Utilisation des théorèmes

19.1 Dérivation temporelle

19.2 Dérivation fréquentielle

19.3 Retard fréquentiel

19.4 Retard temporel

19.5 Produit de convolution

20 Annexe 3: Résolution d’équations différentielles avec des conditions initiales non nulles

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Liens de téléchargement des Résumés sur Transformée de Laplace

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Nombres complexes : Cours et exercices corrigés

Nombre complexe est tout nombre de la forme a+ib ou a et b sont deux nombre réels et ou i est un nombre tel que i2 = -1. L’ensemble des nombres complexes est noté dans С.

Pour un nombre complexe z= a+ ib, a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire.

On note alors Re(z) la partie réelle et Im(z) la partie imaginaires. Si un nombre complexe z a sa partie imaginaire nulle il s’agit alors d’un nombre réel, si un nombre complexe a sa partie réelle nulle on dit que c’est un imaginaire pur.

Remarque : La partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel.

Le nombre i

On appelle i un nombre dont le carré est –1. On décrète que i est la racine de -1. Ainsi : i² = -1. De plus, son opposé -i a aussi pour carré -1. En effet : (-i)² = [(-1) × i]² = (-1)2 × i² = -1

• Les deux racines de -1 sont deux nombres irréels i et -i.
• Le nombre i est appelé nombre imaginaire.
• La forme factorisée de x²+ 1 est (x + i) . (x – i)

Conjugué d’un nombre complexe

Soient a et b deux nombres réels. Le nombre complexe conjugué de Z = a + bi est le nombre complexe Z = a – bi.

Plan du cours sur Nombre complexe

1 Bref historique

2 Forme algébrique des nombres complexes

2.1 Définition de C

2.1.1 Définition des opérations

2.1.2 Propriétés de l’addition et de la multiplication

2.1.3 Inverse d’un nombre complexe non nul

2.2 Les différents ensembles de nombres

2.3 Parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe

2.3.1 Egalité de deux nombres complexes sous forme algébrique

2.3.2 Parties réelle et imaginaire. Définitions et propriétés

2.4 Représentation géométrique d’un nombre complexe

2.5 Conjugué d’un nombre complexe

2.6 Module d’un nombre complexe

3 Le second degré dans C

3.1 Transformation canonique

3.2 Racines carrées d’un nombre complexe

3.3 L’équation du second degré dans C

3.4 Factorisation d’un trinôme du second degré

3.5 Le discriminant réduit

3.6 Somme et produit des racines

3.7 Le cas particulier de l’équation à coefficients réels

4 Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

4.1 Nombres complexes de module 1. La notation e^iθ

4.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul. Arguments d’un nombre complexe non nul

4.3 Application à la trigonométrie

4.3.1 Les formules d’Euler

4.3.2 Polynômes de Tchebychev

4.3.3 Linéarisation de polynômes trigonométriques

4.4 Applications à la géométrie

4.4.1 Cercles et disques

4.4.2 Interprétation géométrique d’un argument de (d – c) /(b – a)

5 Racines n-èmes d’un nombre complexe

5.1 Racines n-èmes de l’unité

5.2 Racines n-èmes d’un nombre complexe

6 Similitudes planes directes

6.1 Translations, homothéties, rotations

6.1.1 Translations

6.1.2 Homothéties

6.1.3 Rotations

6.2 Etude des transformations z → az + b

7 Exponentielle d’un nombre complexe

7.1 Définition

7.2 Propriétés

7.3 Dérivée de e^ϕ où ϕ est à valeurs dans C

liens de téléchargement des cours sur les Nombres complexes

liens de téléchargement des exercices corrigés sur les Nombres complexes

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On appelle primitive d’une fonction f, définie sur un intervalle] a, b [, toute fonction dérivable sur ]a, b [, dont la dérivée coïncide avec f sur ]a, b [. ( Wikipédia)

Etant données deux primitives de f, leur différence doit avoir une dérivée nulle, et donc être constante. Deux primitives de la même fonction diffèrent donc par une constante. Pour spécifier une primitive particulière, il suffit de fixer sa valeur en un point. En général, on considère la primitive qui s’annule en un certain point.

Primitives des fractions rationnelles

On appelle fraction rationnelle le quotient de deux polynômes. La plupart des primitives que l’on sait calculer formellement se ramènent à des calculs de primitives de fractions rationnelles, par des changements de variable simples. Nous commençons par recenser les fractions rationnelles particulières dont on sait calculer une primitive. On les appelle les éléments simples. On note n un entier strictement positif, et a, b, c, α, β des réels quelconques.

Plan du cours de_Primitive

1- Cours

1.1 Propriétés des intégrales

1.2 Primitives et intégrales

1.3 Techniques de calcul des primitives

1.4 Primitives des fractions rationnelles

1.5 Applications des fractions rationnelles

2- Entraînement

2.1 Vrai ou faux

2.2 Exercices

2.3 QCM

2.4 Devoir

2.5 Corrigé du devoir

3- Compléments

3.1 La quadrature du cercle

3.2 Fonctions spéciales

3.3 Intégrales elliptiques

Liens de téléchargement de cours, QCM, exercices et devoir corrigé de_Primitive

Liens de téléchargement des exercices corrigés de_Primitive

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Intégrale de Riemann – Cours et exercices corrigés

L’intégrale de Riemann est un moyen de définir l’intégrale, sur un segment, d’une fonction réelle bornée et presque partout continue. En termes géométriques, cette intégrale est interprétée comme l’aire du domaine sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement. ( définition Wikipédia)

Plan du cours sur l’Intégrale de Riemann

1           Construction.

1.1          Intégrale des fonctions en escalier

1.1.1        Subdivisions

1.1.2        Fonctions en escalier 

1.1.3        Intégrale

1.2         Propriétés élémentaires de l’intégrale des fonctions en escalier

1.3         Intégrales de Riemann

1.3.1        Sommes de Riemann, sommes de Darboux

1.3.2        Fonction Riemann-intégrables

1.4         Propriétés élémentaires

1.4.1        Propriétés fondamentales

1.4.2        Intégrales orientées

1.4.3        Sommes de Riemann particulières

2           Caractérisation des fonctions Riemann-intégrables

2.1         Caractérisation de Lebesgues

2.1.1        Ensemble négligeable, propriétés vraies presque partout

2.1.2        Oscillation d’une fonction.

2.1.3        Le théorème de Lebesgue.

2.2         Conséquences.

2.3         Mesure de Riemann.

3           Fonctions réglées.

3.1         Définition, propriétés.

3.2         Exemples.

3.3         Caractérisation

4           Propriétés.

4.1         Intégrale fonction de la borne supérieure.

4.1.1        Continuité, dérivabilité.

4.1.2        Primitives

4.2         Calcul.

4.2.1        Translations, homotéthies.

4.2.2        Intégration par parties

4.2.3        Changement de variable

4.3         Relations, inégalités.

4.3.1        Formules de Taylor

4.3.2        Formules de la moyenne

4.3.3        Inégalités.

5           Intégrales dépendants d’un paramètre.

5.1         Suites d’intégrales

5.2         Continuité sous le signe R

5.3         Dérivabilité sous le signe R

5.4         Théorème de Fubbini.

6           Calcul des primitives.

6.1         Généralité.

6.2         Méthodes

6.2.1        Fractions rationnelles.

6.2.2        Fonctions trigonométriques

6.2.3        Intégrales abéliennes.

6.3         Primitives usuelles.

7           Calculs approchés d’intégrales.

7.1         Interpolation polynomiale

7.1.1        Méthode des rectangles

7.1.2        Méthode des trapèzes

7.2         Formule d’Euler – Mac-Laurin

7.2.1        Polynômes et nombres de Bernoulli

7.2.2        Applications des nombres et polynômes de Bernoulli

7.2.3        La formule d’Euler – Mac-Laurin

7.3         Méthode de Newton

Liens de téléchargement des cours sur l’Intégrale de Riemann

Liens de téléchargement des exercices corrigés sur l’Intégrale de Riemann

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Suites et séries de fonctions – Analyse 4 : Cours et exercices corrigés

Plan du cours Suites et séries de fonctions – Analyse 4

Chapitre 1. Suites de fonctions

1. Convergences

2. Convergence uniforme et limite

3. Convergence uniforme et continuité

4. Convergence uniforme et intégration sur un segment

5. Convergence uniforme et dérivation

Chapitre 2. Séries de fonctions

1. Convergences

1.1. Convergences simple et absolue

1.2. Convergence uniforme

1.3. Convergence normale

1.4. Critère d’Abel uniforme

1.5. Fonction zeta de Riemann

2. Propriétés de la convergence uniforme

2.1. Convergence uniforme et limite

2.2. Convergence uniforme et continuité

2.3. Convergence uniforme et intégration sur un segment

2.4. Convergence uniforme et dérivation

Chapitre 3. Séries entières

1. Rayon de convergence

1.1. Rayon de convergence et somme d’une série entière

1.2. Règles de d’Alembert et de Cauchy

2. Opérations sur les séries entières

2.1. Structure vectorielle

2.2. Dérivation

2.3. Produit de Cauchy de deux séries

3. Convergence

4. Régularité de la somme d’une série entière

5. Développements en série entière

5.1. Généralités

5.2. DSE(0) usuels

6. Fonctions usuelles d’une variable complexe

6.1. Exponentielle complexe

6.2. Fonctions circulaires et hyperboliques

Chapitre 4. Exponentielle de matrices et systèmes différentiels

1. Espaces vectoriels normés

1.1. Normes, exemples

1.2. Suites dans un espace vectoriel normé

1.3. Comparaison de normes

1.4. Application linéaire continue, norme subordonnée

1.5. Suites de Cauchy

1.6. Cas de la dimension finie

2. Exponentielle de matrices

3. Systèmes différentiels linéaires du premier ordre

3.1. Généralités

3.2. Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants

3.3. Utilisation d’une exponentielle de matrice

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Liens de téléchargement des exercices sur les Suites et séries de fonctions

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Algèbre 2 : Cours, Résumés, TD corrigés et Examens corrigés

On dit que E est un espace vectoriel de dimension finie si et seulement si E admet une partie génératrice de cardinal fini (c’est-à-dire contenant un nombre fini d’éléments)

Montrer qu’une application linéaire est inversible n’est à priori pas une chose évidente. Le déterminant permettra, dans certains cas, de montrer si c’est le cas ou non. Il permettra aussi, toujours dans certains cas, de résoudre des systèmes ou bien d’obtenir l’inverse d’une matrice. Enfin il servira à la diagonalisation et la trigonalisation des endomorphismes d’un espace vectoriel.

Un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire s’appelle un espace vectoriel euclidien ou plus simplement un espace euclidien

Définitions :

• Une matrice colonne est une matrice qui n’a qu’une colonne.
• Une matrice ligne est une matrice qui n’a qu’une ligne.
•  Une matrice carrée est une matrice qui a autant de ligne que de colonne. Ce nombre s’appelle l’ordre de la matrice. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n.
•  Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont les coefficients sous la diagonale sont tous nuls (mi j = 0 si i > j).

Plan du cours d’algèbre 2

1 Calcul matriciel

1.1 Définitions et propriétés

1.2 Opérations sur les matrices

1.2.1 Addition

1.2.2 Multiplication par un scalaire

1.2.3 Multiplication des matrices

1.3 Matrices élémentaires

1.3.1 Opérations élémentaires sur une matrice

1.3.2 Application pour déterminer l’inverse d’une matrice carrée

2 Déterminants

2.1 Déterminant d’ordre 2

2.2 Déterminant d’ordre 3

2.3 Déterminant d’ordre n

2.4 Applications

2.4.1 Calcul de l’inverse d’une matrice carrée d’ordre n

2.4.2 Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer )

3 Espaces Vectoriels

3.1 Espaces vectoriels

3.2 Sous-Espaces vectoriels

3.3 Famille Génératrice

3.4 Dépendance et Indépendance Linéaires – Bases

3.5 Existence de Bases (en dimension finie)

3.6 Les Théorèmes Fondamentaux sur la Dimension

3.7 Somme, Somme directe, Sous-Espaces Supplémentaires

4 Les Applications Linéaires

4.1 Applications Linéaires

4.2 Image et Noyau

4.3 Matrices Associées aux Applications Linéaires

4.4 Matrice d’un Vecteur. Calcul de l’Image d’un Vecteur

4.5 Matrice de l’Inverse d’une Application

4.6 Changement de Bases

4.7 Rang d’une Matrice

4.8 Matrices Remarquables

4.9 Application des Déterminants à la Théorie du Rang

4.9.1 Caractérisation des Bases

4.9.2 Comment reconnaître si une famille de vecteurs est libre

4.9.3 Comment reconnaître si un vecteur appartient à l’espace engendré par d’autres vecteurs

4.9.4 Détermination du rang

5 Valeurs Propres et Vecteurs Propres

5.1 Valeurs Propres et vecteurs propres

5.2 Propriétés des vecteurs propres et valeurs propres

5.3 Propriétés du polynôme caractéristique

5.4 Diagonalisation

Algèbre 2 : Cours, Résumés, TD corrigés et Examens corrigés

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Liens de téléchargement des TD avec corrigés d’algèbre 2

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Algèbre 2 : Cours, Résumés, TD corrigés et Examens corrigés

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Analyse numérique et algorithme cours, Résumés, exercices et examens corrigés

L’analyse numérique a commencé bien avant la conception des ordinateurs et leur utilisation quotidienne que nous connaissons aujourd’hui.

Les premières méthodes ont été développées pour essayer de trouver des moyens rapides et efficaces de s’attaquer à des problèmes soit fastidieux à résoudre à cause de leur grande dimension (systèmes à plusieurs dizaines d’équations par exemple), soit parce qu’il n’existe pas solutions explicites connues même pour certaines équations assez simples en apparence.

Dès que les premiers ordinateurs sont apparus, ce domaine des mathématiques a pris son évolution et continue encore à se développer de façon très soutenue.

Les applications extraordinairement nombreuses sont entrées dans notre vie quotidienne directement ou indirectement. Nous les utilisons désormais sans nous en rendre compte mais surtout en ignorant la plupart du temps toute la théorie, l’expertise, le développement des compétences et l’ingéniosité des chercheurs pour en arriver là. Nous pouvons téléphoner, communiquer par satellite, faire des recherches sur internet, regarder des films où plus rien n’est réel sur l’écran, améliorer la sécurité des voitures, des trains, des avions, connaître le temps qu’il fera une semaine à l’avance,…et ce n’est qu’une infime partie de ce que l’on peut faire.

Plan du cours N°1 d’Analyse numérique et algorithme

Analyse Numérique

• Calculs numériques approchés
• Zéros de fonctions non-linéaires
• Approximation et Interpolation Polynomiale
• Intégration numérique
• Equations différentielles
• Systèmes linéaires

2. Algorithmique

• Introduction et initiation à l’algorithmique
• Terminologie – Définitions
• Notions Complémentaires et avancées

Plan du cours N°2 d’ Analyse numérique et algorithme

1. Les systèmes linéaires

1.1 Introduction

1.1.1 Gestion des erreurs

1.1.2 Exemple de problème menant à la résolution d’un système linéaire

1.2 Quelques rappels sur les matrices

1.2.1 Notations

1.2.2 Lien avec les applications linéaires

1.2.3 Opérations

1.2.4 Trace et déterminant

1.2.5 Matrice et produit scalaire

1.2.6 Valeurs propres, vecteurs propres et réduction de matrices

1.3 Normes vectorielles et matricielles

1.3.1 Rappels sur les normes vectorielles

1.3.2 Boules

1.3.3 Normes matricielles

1.3.4 Conditionnement

1.4 Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires

1.4.1 Principe des méthodes directes