Turbomachine : cours et exercices corrigés PDF

On appelle turbomachine toute machine dans laquelle un fluide échange de l’énergie avec un ensemble mécanique de révolution tournant autour de son axe de symétrie (une ou plusieurs roues ou rotors munis des aubes ou des augets).

I- Classification et Géométrie

Dans les turbomachines le transfert d’énergie s’effectue entre le fluide et une roue mobile. La théorie du fonctionnement est la même quelque soit le sens du transfert, mais on distingue :

• Les turbines, dans lesquelles l’énergie du fluide fait tourner la roue : turbines, éoliennes, etc.… Dans ces machines l’énergie du fluide est cédée à la roue.
• Les turbopompes et les turbocompresseurs qui ont pour objet principal de mettre sous pression, soit un liquide, soit un gaz.
• Les turbosoufflantes, les ventilateurs, les hélices dans lesquels on communique au fluide à la fois de l’énergie de pression et de l’énergie cinétique en proportion variable selon les appareils.

Suivant la manière dont le fluide traverse la roue mobile, on dit que, dans la traversée d’une machine, on a :

1- Turbomachine à passage axial

Là où la vitesse du fluide n’a en plus de sa composante circonférentielle, qu’une composante axiale; chaque ligne de courant se trouve sur la surface d’un cylindre circulaire coaxial à la machine. Une machine est dite axiale si le courant y est sensiblement axial, du moins dans la région où la majeure partie du travail est effectuée. Citons les pompes et les ventilateurs hélicoïdes, des turbines à hélices et les turbines Kaplan.

2- Turbomachine à passage radial

Là où la vitesse n’a, en plus de sa composante circonférentielle, qu’une composante radiale ; chaque ligne de courant se trouve dans un plan perpendiculaire à l’axe de la roue (Les particules fluides se déplacent dans des plans normaux à l’axe de la roue). Une machine est dite radiale si le courant y est à peu près radial.

Dans ce cas on qualifie de :

1. Centrifuges, les machines dans lesquelles les particules s’éloignent de l’axe,
2. Centripètes, les machines dans lesquelles les particules se rapprochent de l’axe

3- Turbomachine à passage mixte, hélico-centrifuge ou hélico-centripète,

Quand le courant possède trois composantes : circonférentielle, axial et radial à l’une des extrémités. Les particules fluides se déplacent sur des surfaces de révolution coaxiales à l’axe de la roue (des cônes de révolution par exemple).

4- Turbomachine à passage tangentiel

Les particules fluides se déplacent dans des plans parallèles à l’axe de la roue. Par exemple, pour les turbines hydrauliques Pelton, on fait agir sur la roue un ou plusieurs jets qui arrivent sue les augets avec une vitesse possédant seulement une composante circonférentielle.

• Les turbomachines hydrauliques génératrices ont pour fonction d’accroître l’énergie du fluide qui les traverse sous forme potentielle ou cinétique, c’est essentiellement les turbopompes.
• Les turbomachines hydrauliques réceptrices ont pour fonction de recueillir l’énergie qui leur est cédée par le fluide qui les traverse, cette est transformée en énergie mécanique. En fluide incompressible, les seules turbomachines réceptrices sont les turbines hydrauliques.
• Les turbomachines réversibles sont tantôt réceptrices tantôts génératrices.

II- Constitution des turbomachines

Une turbomachine est composée essentiellement d’un mobile de révolution tournant dans un stator limitée par une enveloppe étanche. Suivant que ce mobile comporte un ou plusieurs rotors, la machine est dite monocellulaire ou multicellulaire. Une machine monocellulaire complète se compose des trois organes distincts que le fluide traverse successivement, soit, depuis l’entrée jusqu’à la sortie, le distributeur, le rotor comportant une roue et le diffuseur. Le distributeur et le diffuseur font partie de stator de la machine.

1- Distributeur

cet organe fixe a pour rôle de conduire le fluide depuis la section d’entrée de la machine jusqu’à l’entrée du rotor.

2- Roue

C’est l’organe essentiel de la turbomachine, il comporte des aubages où s’opèrent les échanges entre énergie mécanique et énergie du fluide. La forme géométrique de la roue qui impose l’allure générale de la trajectoire des particules fluide à travers de cet organe, constitue une base de classification. Elle varie suivant les divers paramètres de fonctionnement (hauteur produite, débit et vitesse de rotation) résumés par un seul paramètre ou nombre de Brauer, Ns, défini plus loin. On notera une évolution progressive depuis les plus faibles valeurs pratiques du paramètre Ns (25) jusqu’aux plus élevées (285). Aux valeurs faibles et moyennes correspondent des roues à écoulements centrifuges, aux plus élevées des pompes hélices.

3- Diffuseur

c’est l’organe qui est destiné à transformer en pression l’énergie cinétique résiduelle de l’eau, tout en évacuant celle-ci. On trouve deux types de diffuseurs :

• Diffuseur à ailettes : Dans les diffuseurs à ailettes, un certain nombre d’aubages, de tracé curviligne analogue à celui des aubes de la roue, assure cette transformation. Ce type de diffuseur est très généralement utilisé dans les pompes multicellulaires.
• Diffuseur Colimaçon : Pour les pompes centrifuges à une seule roue, on utilise le plus souvent un type de diffuseur qui joue en outre un rôle de collecteur de débit à la périphérie de la roue, à cause de sa forme, il a reçu le nom de colimaçon.

III- Théorèmes généraux

Les équations utilisées sont celles de la mécanique des fluides classique sous forme intégrale. Les écoulements ne sont pas permanents, puisque du rotor sont mobiles. Cependant si la machine est en fonctionnement constant, l’écoulement absolu pourra être supposé permanent en moyenne. On définit alors :

1- Théorème du transport (Théorème de Reynolds) :

2- Théorème de l’énergie cinétique

La dérivée par rapport au temps de l’énergie cinétique est égale à la puissance fournie par les efforts intérieurs et extérieurs :

\frac{dEc}{dt}=P_{int}+P_{ext}

3- Théorème du moment cinétique

Le théorème du moment cinétique s’exprime par :

4- Conservation de la charge relative

La charge relative est définie par :

H_{r}=\frac{p}{\rho g}+z+\frac{W^{2}+U^{2}}{2g}

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La gravitation universelle : Cours et Exercices corrigés

La gravitation universelle est une des interactions responsable de la cohésion de l’univers. Elle est prédominante à l’échelle astronomique. C’est elle qui explique la cohésion et la structure du système solaire. Elle est la cause du mouvement des planètes et de leurs satellites.

I- Interactions gravitationnelles

I.1 Définition

Deux corps A et B sont en interaction gravitationnelle s’ils exercent mutuellement, l’un sur l’autre, des forces d’attraction dues au seul fait qu’ils ont une masse non nulle.

I.2. Expression de la force de gravitation (loi de Newton)

Deux corps ponctuels A et B, de masses m_A et m_B, séparés par une distance d, exercent l’un sur l’autre des forces d’interactions gravitationnelles attractives  :

{ F }_{ A/B } \quad et \quad { F }_{ B/A }

Ayant :

• même droite d’action (AB)
• des sens opposés
• même intensité (ou valeur) :

{ F }_{ A/B }={ F }_{ B/A }=G\frac { { m }_{ A }.{ m }_{ B } }{ { d }^{ 2 } } 

G : constante de gravitation universelle       

Unités SI :

• m_A et m_B en kilogrammes (kg)    
• d en mètres (m)         
• G = 6.67. 10 ^-11 m ³. kg ^-1. s ^-2

Remarque : cette loi est aussi valable pour des corps volumineux présentant une répartition sphérique de masse (même répartition de masse autour du centre de l’objet). C’est le cas des planètes et des étoiles, la distance d est celle qui sépare leurs centres.

1.3. Représentation par un vecteur

Une force  peut être représentée par un vecteur ayant pour direction, la droite d’action de la force, pour sens, celui de la force, pour origine, le point d’application de la force et une longueur (ou norme) proportionnelle à l’intensité de la force.

Il faut choisir une échelle de représentation adaptée.

II- Poids d’un corps et force gravitationnelle

II.1. Poids d’un corps

Le poids d’un corps est la force d’attraction qu’il subit lorsqu’il est situé à la surface de la Terre ou, à proximité de sa surface. Le poids d’un corps est essentiellement à la force de gravitation que la Terre exerce sur lui.

II.2. Caractéristiques du poids

Les caractéristiques du poids sont :

• direction : la verticale
• sens : de haut en bas (vers le centre de la Terre)
• intensité (ou valeur) : P = m. g

II.3. Expression de l’ intensité de la pesanteur

Le poids P d’un objet peut-être identifié à la force de gravitation F exercée par la Terre sur cet objet :

P=F=m.g \quad{ F }=m.G\frac { { M }_{ T } }{ { { ({ R }_{ T }+h) }^{ 2 } } } \quad on \quad pose \quad d = { R }_{ T }+h

Alors \quad m.g=m.G\frac { { M }_{ T } }{ { { ({ R }_{ T }+h) }^{ 2 } } } 

L'expression \quad de \quad l’ intensité \quad de \quad la \quad pesanteur \quad est \quad g=G\frac { { M }_{ T } }{ { { ({ R }_{ T }+h) }^{ 2 } } } 

Remarque : – cette expression est aussi valable a la surface de la terre (h=0) on obtient :

{ g }_{ 0 }=G\frac { { M }_{ T } }{ { { { R }_{ T } }^{ 2 } } } 

• m : masse de l’objet en kg 
• g : intensité de la pesanteur en N.kg^-1

III- L’ordre de grandeur

III .1 Définition de l’ordre de grandeur.

La notation scientifique est l’écriture d’un nombre sous la forme du produit : a.10ⁿ

Avec a : nombre décimal 1 <= a < 10 et n, entier positif ou négatif

Si a < 5 alors l’ordre de grandeur du nombre est 10ⁿ : .
Si a >=5 alors l’ordre de grandeur est 10ⁿ⁺¹ 

Exemple

III.2 Comparaison de deux valeurs numériques

Pour comparer les valeurs prises par une grandeur physique (Exemples : une masse une longueur) , il faut les convertir dans la même unité.

Deux valeurs seront du même ordre de grandeur si le quotient de l’ordre de grandeur de la plus grande par la plus petite est compris entre 1 et 10.

Pour plus de détails télécharger les documents ci-dessous:

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Poussée d’Archimède : Cours et exercices corrigés

La poussée d’Archimède est la force particulière que subit un corps plongé en tout ou en partie dans un fluide (liquide ou gaz) soumis à un champ de gravité. Cette force provient de l’augmentation de la pression du fluide avec la profondeur. La pression étant plus forte sur la partie inférieure d’un objet immergé que sur sa partie supérieure, il en résulte une poussée globalement verticale orientée vers le haut. C’est à partir de cette poussée qu’on définit la flottabilité d’un corps.

Formulation du théorème d’Archimède

« Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé ; cette force est appelée poussée d’Archimède. »

Pour que le théorème s’applique il faut que le fluide immergeant et le corps immergé soient au repos. Il faut également qu’il soit possible de remplacer le corps immergé par du fluide immergeant sans rompre l’équilibre, le contre-exemple étant le bouchon d’une baignoire remplie d’eau : si celui-ci est remplacé par de l’eau, il est clair que la baignoire se vide et que le fluide n’est alors plus au repos. Le théorème ne s’applique pas puisque nous sommes dans un cas où le bouchon n’est pas entièrement mouillé par le liquide et ne traverse pas sa surface libre.

Une fois les conditions précédentes respectées, dans un champ de pesanteur uniforme, la poussée d’Archimède PA est donnée par la formule suivante :

Où Mf est la masse du fluide contenu dans le volume V déplacé, et g la valeur du champ de pesanteur.

Si la masse volumique ρ du fluide est elle aussi uniforme, on aura :

Ou encore, si l’on considère les normes des forces :

La poussée d’Archimède PA s’exprimera en newton (N) si la masse volumique ρ est en kg/m3, le volume de fluide déplacé V en m3 et la valeur de la pesanteur g en N/kg (ou m/s2).

Corps flottants

Un corps solide immergé dans un liquide en équilibre est soumis à deux forces verticales et de sens contraires : son poids P⃗ et la poussée d’Archimède FA.

Remarque : On suppose que le corps solide est homogène. Dans ce cas, son centre de gravité et son centre de poussée se confondent.

Trois cas peuvent se présenter :

1- Le poids est plus grand que la poussée d’Archimède. Le corps va descendre vers le bas

P > FA | or : P = m · g = ρcorps · V · g et FA = ρliq. · g · V

⇔ ρcorps · g · V > ρliq. · g · V

⇔ ρcorps > ρliq

Si la masse volumique d’un corps est plus grande que la masse volumique du liquide dans lequel le corps est plongé, le corps va descendre vers le bas (il va couler).

2- Le poids est plus petit que la poussée d’Archimède. Le corps va monter vers le haut.

P < FA ⇔ ρcorps < ρliq

Si la masse volumique d’un corps est plus petite que la masse volumique du liquide dans lequel le corps est plongé, le corps va monter à la surface du liquide (il va nager).

3- Le poids est égal à la poussée d’Archimède. Le corps va rester entre deux eaux.

P = FA ⇔ ρcorps = ρliq.

Si la masse volumique d’un corps est égale à la masse volumique du liquide dans lequel le corps est plongé, le corps va flotter, c’est-à-dire il ne va ni descendre vers le bas, ni monter vers le haut.

Point d’application

Tout se passe comme si la poussée d’Archimède s’appliquait au centre de carène, c’est-à-dire au centre de gravité du volume de fluide déplacé.

Cette caractéristique est importante pour le calcul de la stabilité d’un sous-marin en plongée ou d’un aérostat : sous peine de voir l’engin se retourner, il est nécessaire que le centre de carène soit situé au-dessus du centre de gravité.

Pour ce qui est d’un navire, en revanche, le centre de carène est souvent situé au-dessous du centre de gravité (par exemple pour une planche à voile). Cependant, lorsque la pénétration de l’objet dans le fluide évolue, le centre de carène se déplace, créant un couple qui vient s’opposer au mouvement. La stabilité est alors assurée par la position du métacentre, qui est le point d’application des variations de la poussée. Ce métacentre doit se trouver au-dessus du centre de gravité.

De façon anecdotique, on peut remarquer que les concepteurs de sous-marins doivent s’assurer simultanément de deux types d’équilibres pour leurs engins.

Utilisations de la Poussée d’Archimède

Ce principe est utilisé par l’homme et dans la nature.

Exemples :

• Les bateaux sont construits tels que le poids de l’eau déplacé (et donc la poussée d’Archimède) est supérieur au poids du bateau. Bien qu’un bateau est construit de matériaux lourds (fer, …), donc à masse volumique élevée, sa masse volumique moyenne est inférieure à celle de l’eau. En effet, il faut considérer la masse volumique moyenne du bateau, et cette dernière est relativement faible (< 1000 kg/m3), comme le bateau contient surtout de l’air (ρair = 1, 29 kg/m3).

• La poussée d’Archimède d’un sous-marin est constante. Si on veut descendre le sousmarin, il faut donc augmenter son poids, ce qui est fait en remplissant sa double-paroi extérieure par de l’eau (on remplace l’air dans cette double paroi par de l’eau ce qui fait augmenter la masse volumique moyenne à une valeur supérieure à celle de l’eau. Si on veut monter à la surface, il faut de nouveau remplacer l’eau dans la double-paroi par de l’air. A cette fin, des réservoirs à air comprimé se trouvent à bord. Enfin, pour rester entre deux eaux, on remplit la chambre d’air avec autant d’eau pour que le poids soit exactement égal à la poussée d’Archimède. Dans ce cas, la masse volumique moyenne du sous-marin est exactement égale à celle de l’eau

• Les poissons peuvent descendre ou monter dans l’eau grâce à leur vessie natatoire („Schwimmblase”). Ce sac est rempli de dioxygène (O2), de dioxyde de carbone (CO2) et de diazote (N2). Certains poissons absorbent de l’air pour contrôler le volume de gaz qu’ils ont dans leur vessie natatoire. Si le volume d’air augmente, la masse volumique moyenne du poisson diminue (en effet, sa masse reste constante, mais son volume augmente), et le poisson monte vers le haut. Inversement, ils peuvent évacuer rapidement du gaz pour descendre. D’autres poissons contrôlent le volume de gaz grâce à des processus physiques et chimiques (échange de gaz avec le sang, …)

Liens de Téléchargement des cours sur la Poussée d’Archimède

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Mécanique des Milieux Continus – MMC – cours et exercices corrigés

La mécanique des milieux continus est le domaine de la mécanique consacré aux mouvements des corps déformables : gaz, liquide ou solide, en utilisant les données et les méthodes de la mécanique rationnelle. La mécanique des milieux continus étudie les corps matériels qui remplissent l’espace de façon ininterrompue, continue, et dont les points changent de distance lors du mouvement. Les problèmes essentiels de la mécanique des milieux continus qui font l’objet d’études sont présentés de la manière suivante :

• action d’un fluide sur un corps en mouvement : avion, obus, navires, sousmarins, voitures, etc.…

• écoulement d’un fluide dans des tubes ou plus généralement dans divers mécanismes (pompes, turbines, turbomachines)

• écoulement d’un fluide dans un milieu poreux

• hydrostatique où équilibre des liquides et des corps flottant où immergés

• les mouvements des gaz lors d’une explosion où d’une combustion

• les mouvements turbulents des fluides

• l’étude des mouvements et de l’équilibre des corps solides déformables : la théorie de l’élasticité, fatigue des corps

La cinématique du milieu continu a pour objet d’étudier le milieu en terme de déplacement vitesse et accélération et ceci sans faire intervenir les forces qui entrent en jeu.

Un milieu continu est un milieu dans lequel toutes les propriétés physiques varient d’une façon continue d’un point à un autre. Par exemple la masse m est une fonction continue des variables x, y, z, t, par tout sauf sur un nombre fini de surfaces ou de lignes (surfaces ou ligues singulière)

Continuité des transformations

Il faut admettre que les fonctions qui composent les équations de mouvement d’un milieu continu, sont continues et dérivables par rapport à toutes les variables, en effet :

• Deux points infiniment voisins à t =0 restent infiniment voisins à t =T
• Deux points infiniment voisins à t =T proviennent de deux points infiniment voisins à t =0

Conditions d’équilibre

Un corps est dit en équilibre lorsque l’ensemble des forces appliquées à la surface équilibre l’ensemble des forces massiques appliquées à ses éléments de volume.

Plan du cours de Mécanique des Milieux Continus (MMC)

Chapitre I : Introduction à la mécanique des milieux continus

1- Objet de la mécanique des milieux continus

2- Hypothèses de continuité

3- Cinématique du milieu continu

Chapitre II : Etude générale du vecteur contrainte et du tenseur de contrainte

1- Introduction

2- Tenseur de contrainte

3- Equations générale de l’équilibre

4- Application à un fluide au repos

5- Propriétés locales du tenseur des contraintes

6- Directions principales contraintes normales principales

7- Représentation de Mohr

Chapitre III : Etude des petites déformations et du tenseur du taux de déformation

1- Le tenseur du gradient du vecteur déplacement

2- Le tenseur du taux de déformation

3- Définitions élémentaires du taux de déformation

Chapitre IV : Les relations fondamentales de la dynamique (Les équations de conservation)

1- Rappels mathématiques

2- La dérivée particulaire

3- Les équations de conservation

Chapitre V : Application aux écoulements des fluides visqueux

1- Equation de conservation de quantité de mouvement

2- Equation de conservation de l’énergie

3- Formulation mathématique des problèmes de mécanique des fluides

4- Quelques solutions analytiques des équations de Navier-Stokes

Liens de téléchargement des cours de Mécanique des Milieux Continus (MMC)

Liens de téléchargement des exercices avec corrigés

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Physique Statistique : Cours – Résumés – TD et Exercices corrigés – Examens corrigés

La physique statistique permet de déduire, par l’utilisation de méthodes probabilistes, les propriétés des systèmes aux échelles macroscopiques à partir des lois qui gouvernent les constituants élémentaires aux échelles microscopiques.

L’objectif de la physique statistique est de fournir une interprétation microscopique des lois qui gouvernent les systèmes macroscopiques, c’est-à-dire les systèmes qui contiennent dans un volume de dimension macroscopique un nombre de particules de l’ordre du nombre d’Avogadro.

Un système macroscopique de température finie est en interaction avec son environnement se trouve dans un état excité. Le nombre des états est très vaste, beaucoup plus grand que le nombre de particules N.

La physique statistique est construite à partir de postulats. Ce sont des hypothèses raisonnables choisies a priori. La justification de ce choix se fait en vérifiant que cette théorie permet de reproduire et de comprendre un grand nombre de propriétés des corps macroscopiques. La thermodynamique est aussi basée sur des postulats : ce sont les principes de la thermodynamique. La physique statistique tient compte des propriétés des constituants microscopiques des corps, c’est une science plus complète que cette dernière

Plan du cours de la physique statistique

Introduction

Chapitre_1 : Outils de la physique statistique

Chapitre_2 : description statistique des systèmes

Chapitre_3 : Entropie statistique – postulats de la physique statistique

Chapitre_4 : Systèmes isolés : description microcanonique

Chapitre_5 : Distribution d’équilibre de BOLTZMANN GIBBS

Chapitre_6 : Distribution canonique, distibution de MAXWELL-Distribution grand canonique- Distribution isobare isotherme

Chapitre_7 : Statistique Quantique des Bosons et de Fermions

Annexe : Rappels sur la thermodynamique

Liens de téléchargement des cours de la Physique_Statistique

Liens de téléchargement des résumés de la Physique_Statistique

Liens de téléchargement des TD et exercices corrigés de la Physique_Statistique

Liens de téléchargement des examens corrigés de la Physique_Statistique

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Mécanique Quantique 1 : Cours-Résumés-TD Corrigés-Examens Corrigés

La Mécanique Quantique est le cadre théorique permettant de comprendre et de décrire la structure de la matière et la nature de la lumière aux échelles de l’infiniment petit.

La mécanique quantique est universelle, c’est à dire utilisable pour comprendre tous les phénomènes physiques. C’est une description du comportement de la matière et de la lumière dans tous leurs détails. Toutefois cette hégémonie de la mécanique quantique n’est que de principe car dans de très nombreux domaines la théorie classique suffit pour interpréter de façon satisfaisante les observations. Nous verrons par exemple que la mécanique quantique ne fait pas intervenir dans ses concepts la notion de trajectoire d’un mobile ou la notion de force. Il est évident que les ingénieurs qui lancent des satellites autour de la terre n’abandonnent pas ces notions qui se révèlent excellentes dans une large gamme de conditions physiques. Ceci découle de ce que la mécanique classique apparaît comme une approximation de la mécanique quantique.

Plan du cours N°1 de la Mécanique Quantique I

Chapitre I : Fondement Physique de la Mécanique Quantique

Chapitre II: Bases mathématiques de la théorie quantique

Chapitre III : Description des Phénomènes Physique et Postulats de la Mécanique Quantique

Plan du cours N°2 de la Mécanique Quantique I

Chapitre_1 : Les notions de Mathématiques utiles en M.Q
Chapitre_2 : Les origines de la M.Q
Chapitre_3 : L’équation de Schrödinger-Application
Chapitre_4 : Le formalisme Mathématique de la M.Q
Chapitre_5 : Les postulats de la M.Q
Chapitre_6 : L’oscillateur harmonique à une dimension

Liens de téléchargement des cours de la Mécanique Quantique I

Cours N°1 de la mécanique quantique_1

Liens de téléchargement de résumé de la Mécanique Quantique I

Liens de téléchargement des exercices et TD corrigés de la Mécanique Quantique_1

Liens de téléchargement des examens corrigés de la Mécanique Quantique_I

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Mécanique quantique 2 : Cours – Résumé – TD corrigés – Exercices corrigés – Examens corrigés

Le rôle de la mécanique quantique est de décrire le comportement et donner les lois d’évolution des constituants microscopiques de la matière. Plus précisément, les phénomènes quantiques se manifestent pour des objets de petites tailles ∆x et/ou de petites impulsions ∆p.

Aussi de donner les lois qui gouvernent l’évolution de ces objets. Ce sont les équations de Hamilton (ou Newton) dans le cas classique et l’équation de Schrödinger ou bien équation de Heisenberg dans le cas quantique.

Plan du cours de la mécanique quantique 2

1 Rappel : Postulats de la mécanique Quantique

1.1 Introduction

1.2 Enonce des postulats

1.3 Interprétation physique des postulats

2 L’oscillateur harmonique à une dimension

2.1 Importance de l’oscillateur harmonique en physique

2.2 L’oscillateur  harmonique en mécanique classique

2.3 Propriétés générales de l’hamiltonien quantique

2.4 Etude de l’équation aux valeurs propres

3 Le moment cinétique orbital

3.1 Introduction

3.2 Moments cinétiques et rotations

3.3 Invariance par rotation et moment cinétique

3.4 Commutation des moments cinétiques

3.5 L’observable L2

3.6 Moment cinétique intrinsèque ou Spin

3.7 Moment cinétique général

3.8 Application au moment cinétique orbital

4 Particules de spin 1/2

4.1 Introduction

4.2 Expérience de Stern-Gerlach

4.3 Description mathématique de spin 1/2

4.4 Illustration des postulats

5 Produit tensoriel

5.1 Définition et Propriétés

5.2 Définition et Propriétés

5.3 Système de deux spins 1/2

6 Composition de moments cinétiques

6.1 Problématique

6.2 Composition de deux spins 1/2

6.3 Cas général : Composition de deux moments angulaires

Liens de téléchargement des cours de la mécanique quantique 2

Liens de téléchargement de résumé de la mécanique quantique 2

Liens de téléchargement des TD corrigés de la mécanique quantique 2

Liens de téléchargement des exercices corrigés de mécanique quantique 2

Liens de téléchargement des examens corrigés de mécanique quantique 2

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Mécanique Analytique et Vibration : Cours – Résumé – TD corrigés – Examens corrigés

Plan du cours Mécanique Analytique et Vibration

Chapitre 1 : Introduction au P.T.V

I- RAPPELS DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX

1- P.F.D

2- Théorème de moment cinétique

3- Théorème de l’énergie cinétique

4- Loi fondamentale de la dynamique pour un solide

II- Description du système matériel

II.1- Indépendance des coordonnées généralisées

II.2- Liaisons

II.3 – Classification des liaisons

II.4- Nombre de degré de liberté

II.6- Formes des équations de liaisons

II.7- Notion de forces ou d’efforts

III- Principe des travaux virtuels : p.t.v

III.1- Mouvement virtuel d’un système matériel

III.2. Liaison parfaite dans un m.v.c.

III.3- Déplacements virtuels (d.v.)

III.4- Travaux virtuel (t.v.)

III.5. Principe des travaux virtuels (p.t.v.)

III.6- Forces généralisées

IV- Décomposition de l’énergie cinétique

Chapitre 2 : Fondement de la mécanique analytique

I. Équation de lagrange simple (Noté E.L.S.)

I.1. Calcul de Qk

I.2. Calcul de Q’’ _k

I.3. Calcul de Q’’ _k  en fonction de T (ÉNERGIE CINÉTIQUE)

I.4. Lagrangien

I.5. Équation de lagrangien

I.6. Équivalences

II. Extensions

II.1. Cas d’un système (S) à l.h, l.p, Fd conservatives et non conservatives :

II.2. Cas d’un système (S) à l.h, semi h., parfaites + dissipatives, F_d cons. et non cons. :

II.3. Système lagrangien utilisant les moments conjugués 21

III. ÉQUATION DE LAGRANGE AVEC MULTIPLICATEURS (Noté E.L.M.)

III.1. Force généralisée de liaison Q’_k

III.2. E.L.M

IV. Hamilton et équations canoniques

IV.1. Espace des phases

IV.2. Hamiltonien

IV.3. Équations canoniques (E.C.)

IV.4. Lois de conservation

V. Principe d’hamilton ou principe de moindre action (P.M.A.)

V.1. Action lagrangien

V.2. Calcul de la variation de A

V.3. Action hamiltonienne:

V.4. Application

VI. Équation de lagrange linéarisé (E.L.L.)

VI.1. Définition et conditions d’équilibre

VI.2. Cas des systèmes canoniques

VI.3. Influences des forces dissipatives

VI.4. Influences des forces gyroscopiques

VI.5. Ce qu’il faut savoir

Références

Annexes

Chapitre 3 : Oscillations  à un degré de liberté (1D.D.L)

A- Introduction à l’étude des vibrations

I.. Généralités

II. Espace des phases, orbites

B- Oscillations libres non amorties : L’oscillateur harmonique

I. Équation du mouvement : exemple du pendule élastique

II. Étude énergétique du pendule élastique

III. Ce qu’il faut savoir

C- Oscillations libres amorties à un degré de liberté

I. Équation du mouvement : exemple du pendule élastique

II. Solution de l’équation différentielle (2)

III. Étude du régime pseudopériodique

IV. Ce qu’il faut savoir

D- Oscillations forcées amorties à un degré de liberté

I. Équation du mouvement : exemple du pendule élastique

II. Solution de l’équation différentielle (11)

III. Ce qu’il faut savoir

Chapitre 4 : Oscillations  à plusieurs degrés de liberté

Introduction

A- Oscillateurs  libres non amortis à 2 D.D.L

I. Couplage par élasticité

I.1. Description du système

I.2. Mise en équation

I.4. Cas particulier : oscillateurs identiques

II. Couplage par inertie

II.1. Description du système

II.2. Methode de lagrange l(oa, ab) = l(s/r0)

III. Couplage par les vitesses

III.1. Description du système

III.2. Mise en équation

III.3. Intégration des équations du mouvement

B- Excitation d’oscillateur s à 2 D.D.L

I. Oscillateurs non amortis

I.1. Exemple : étouffeur de vibration

I.2. Fonction du transfert de (1) vers (2)

I.3. Théorème de réciprocité

II. Oscillateurs amortis (excités)

II.1. Cas où f02=0

II.2. Cas d’amortissement faible

II.3. Notation matricielle

C- Oscillateurs  à n D.D.L

I. Oscillateurs libres non amortis

II. Oscillateurs libres non amortis mais forcés

III. Oscillateurs libres et amortis

IV. Oscillateurs libres amortis et forcés

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Cours N°1 Mécanique Analytique et Vibration

Cours N°2 Mécanique Analytique et Vibration

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Mécanique des fluides : Cours, Résumé, Exercice, TD et examens corrigés

La mécanique des fluides est la science des lois de I ‘écoulement des fluides. Elle est la base du dimensionnement des conduites de fluides et des mécanismes de transfert des fluides. C’est une branche de la physique qui étudie les écoulements de fluides c’est-à-dire des liquides et des gaz lorsque ceux-ci subissent des forces ou des contraintes. Elle comprend deux grandes sous branches:

• la statique des fluides, ou hydrostatique qui étudie les fluides au repos. C’est historiquement le début de la mécanique des fluides, avec la poussée d’Archimède et l’étude de la pression.
• la dynamique des fluides qui étudie les fluides en mouvement. Comme autres branches de la mécanique des fluides.

Un fluide est un corps qui n’a pas de forme propre et qui est facilement déformable. Les liquides et les gaz sont des fluides, ainsi que des corps plus complexes tels que les polymères ou les fluides alimentaires. Ils se déforment et s’écoulent facilement. Un fluide englobe principalement deux états physiques : l’état gazeux et l’état liquide.

Plan du cours de la Mécanique des Fluides

Chapitre 1 : Introduction à la Mécanique des Fluides

1 Introduction

2 Définitions

2.1 Fluide parfait

2.2 Fluide réel

2.3 Fluide incompressible

2.4 Fluide compressible

3 Caractéristiques physiques

3.1 Masse volumique

3.2 Poids volumique

3.3 Densité

3.4 Viscosité

4 Conclusion

5 Exercices d’application

Chapitre 2 : Statique des fluides

1 Introduction

2 Notion de pression en un point d’un fluide

3 Relation fondamentale de l’hydrostatique

4 Théorème de Pascal

4.1 Enoncé

4.2 Démonstration

5 Poussée d’un fluide sur une paroi verticale

5.1 Hypothèses

5.2 Eléments de réduction du torseur des forces de pression

5.2.1 Résultante

5.2.2 Moment

5.3 Centre de poussée

6 Théorème d’Archimède

6.1 Énoncé

6.2 Démonstration

7 Conclusion

8 Exercices d’application

Chapitre 3 : Dynamique des Fluides Incompressibles Parfaits

1 Introduction

2 Ecoulement Permanent

3 Equation de Continuité

4 Notion de Débit

4.1 Débit massique

4.2 Débit volumique

4.3 Relation entre débit massique et débit volumique

5 Théorème de Bernoulli – Cas d’un écoulement sans échange de travail

6 Théorème de Bernoulli – Cas d’un écoulement avec échange de travail

7 Théorème d’Euler :

8 Conclusion

9 Exercices d’application

Chapitre 4 : Dynamique des Fluides Incompressibles Réels

1 Introduction

2 Fluide Réel

3 Régimes d’écoulement – nombre de Reynolds

4 Pertes de charges

4.1 Définition

4.2 Pertes de charge singulières

4.3 Pertes de charges linéaires

5 Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel

6 Conclusion

7 Exercices d’application

Chapitre 5 : Dynamique des Fluides Compressibles

1 Introduction

2 Equations d’état d’un gaz parfait

2.1 Lois des gaz parfaits

2.2 Transformations thermodynamiques

3 Classification des écoulements

3.1 Célérité du son

3.2 Nombre de Mach

3.3 Ecoulement subsonique

3.4 Ecoulement supersonique

4 Equation de continuité

5 Equation de Saint-Venant

6 Etat générateur

7 Conclusion

8 Exercices d’application

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Mécanique du solide : Cours, Résumés, TD et Examens corrigés

Plan du cours de la Mécanique du solide

1-Cinématique du solide indéformable

1.1 Définitions

1.2 Calcul des vectrices vitesses et accélération

1.3 Vitesse et accélération des points d’un solide

1.4 Composition des mouvements

1.5 Mouvement plan sur plan  

1.6 Propriétés des torseurs

1.7 Axe d’un torseur

2- Statique des solides

2.1 Définitions des actions mécaniques

2.2 Modélisation des actions mécaniques

2.3 Actions à distance : gravité

2.4 Calcul des centres de masse

2.5 Modélisation des actions de contact

2.6 Liaisons

2.7 Quelques remarques

2.8 Statique des solides

2.9 Analyse des mécanismes

2.10 Exercice

2.11 Mobilité, hyperstatisme

2.12 Statique graphique

2.13 Chaîne ouverte

2.14 Chaîne fermée

2.15 Chaînes complexes

3- Cinétique

3.1 Torseur cinétique

3.2 Énergie cinétique

3.3 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un plan

3.4 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe

3.5 Opérateur d’inertie

3.6 Moment d’inertie d’un solide par rapport à un point

3.7 Rayon de giration

3.8 Théorème d’Huyghens

3.9 Théorème d’Huyghens généralisé

3.10 Axes principaux d’inertie

3.11 Calcul du moment cinétique d’un solide

3.12 Energie cinétique d’un solide

4- Dynamique

4.1 Torseur dynamique

4.2 Relation entre le torseur cinétique et le torseur dynamique

4.3 Principe fondamental de la dynamique

4.4 Principe fondamental de la dynamique en repère non galiléen

4.5 Principe de la dynamique appliqué à un système en rotation

5- Théorèmes énergétiques

5.1 Définitions générales

5.2 Puissance des actions mécaniques exercées sur un solide

5.3 Puissance des actions mutuelles entre deux solides

5.4 Travail

5.5 Énergie potentielle

5.6 Théorème de l’énergie cinétique

5.7 Intégrale première de l’énergie cinétique

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Liens de téléchargement des TD corrigés de Mécanique du solide

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Mécanique du point matériel : Cours, résumé, exercices et examens corrigés.

Introduction

La mécanique du point concerne les objets matériels dont l’extension spatiale est très faible : leurs déformations et l’énergie liée à leur mouvement propre de rotation peuvent ainsi être négligées devant les énergies mises en jeu. Cependant un objet aussi volumineux que la terre ou le soleil peut dans certains cas être assimilable à un point en ce qui concerne, par exemple, son action sur des corps dans son entourage.

Système de coordonnées

Pour quantifier les mesures, le plus évident consiste à prendre un système d’axes orthonormé lié au repère qui permettra de déterminer les composantes du mouvement (position, vitesse …) et des forces. Mais ce n’est pas la seule possibilité. De nombreux problèmes sont plus simples en utilisant un système de coordonnées cylindrique, sphérique …

Dans tous les cas il faudra définir une origine et 3 vecteurs unitaires qui définiront les directions des axes. Ces vecteurs constituent la base.

1- Système de coordonnées cartésiennes

Chaque position est repérée par ses coordonnées. S’il s’agit d’un repère linéaire par une seule coordonnée (x), d’un repère plan par deux coordonnées (x,y) et dans l’espace par trois coordonnées (x,y,z). ces coordonnées sont les projection de la position sur chaque axe doté d’un vecteur unitaire.

La position peut être exprimée par un vecteur position qui lie l’origine du repère choisi à la position.

Le repère est orthonormé, c’est-à-dire que les vecteurs unitaires sont normés à l’unité et orthogonaux entre eux.

2- Système de coordonnées cylindrique

Si le mouvement du point M est circulaire dans le plan (XOY) et translate suivant l’axe (OZ) on repère la position M par les coordonnées cylindriques (r,θ, z).

– r : représente la distance du point M à l’axe Oz ;

– θ : Définit la position du point M autour de Oz (θ angle compris entre 0 et 2π) ;

– z : représente la cote du point M.

3- Système de coordonnées sphériques

Si le mouvement de M est circulaire suivant tous les axes on utilise les coordonnées sphériques (r, θ, φ)

– r : représente la distance du point M à l’origine O ;

– θ et φ : définissent la direction dans laquelle, depuis le point O, on voit le point M (θ angle compris entre O et π, φ angle compris entre 0 et 2π).

Plan du cours N°1 de mécanique du point matériel

I – Système de coordonnées – Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel).

II – Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel.

III – Travail et énergie.

IV – Les mouvements à force centrale.

V – Vibrations simples : Systèmes à un degré de liberté.

VI -Chocs de deux particules.

Plan du cours N°2 de mécanique du point_matériel

Calcul vectoriel

Analyse dimensionnelle

Calcul d’incertitude

Cinématique

Mouvement relatif

Dynamique

Travail et énergie

Liens de téléchargement des cours et résumé sur la mécanique du point matériel

Liens de téléchargement des exercices et examens corrigés sur la mécanique du point matériel

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