Le produit vectoriel est une opération vectorielle effectuée dans les espaces euclidiens orientés de dimension 3. Le formalisme utilisé actuellement est apparu en 1881 dans un manuel d’analyse vectorielle écrit par Josiah Willard Gibbs pour ses étudiants en physique. Les travaux de Hermann Günter Grassmann et William Rowan Hamilton sont à l’origine du produit vectoriel défini par Gibbs.

 Le produit vectoriel de deux vecteurs \vec { u } et\vec { v } est le vecteur \vec { w } =\vec { u } \wedge \vec { v } définit par :

• Sa direction est perpendiculaire au plan (\vec { u } ,\vec { v } )
• Son sens est tel que le trièdre (\vec { u } ,\vec { v } ,\vec { w } ) est direct
• Sa norme est : \left| \vec { u } \right| .\left| \vec { v } \right| .\left| \sin { (\vec { u } ,\vec { v } } \right|

Propriétés

• \vec { u } \wedge \vec { v } =-(\vec { v } \wedge \vec { u } )
• \vec { u } \wedge (\vec { v } +\vec { w } )=\vec { u } \wedge \vec { v } +\vec { u } \wedge \vec { w }
• (\vec { u } +\vec { v } )\wedge \vec { w } =\vec { u } \wedge \vec { w } +\vec { v } \wedge \vec { w }
• (k\vec { u } )\wedge \vec { v } =\vec { u } \wedge (k\vec { v } )=k(\vec { u } \wedge \vec { v } )
• Si \vec { u } et\vec { v } sont colinéaires \vec { u } \wedge \vec { v } =\vec { 0 }

Produit vectoriel dans une base orthonormée

Si (\vec { i } ,\vec { j } ,\vec { k } ) est une base orthonormée de plan, on vérifie facilement que :

• \vec { i } \wedge \vec { j } =\vec { k }
• \vec { j } \wedge \vec { k } =\vec { i }
• \vec { k } \wedge \vec { i } =\vec { j }
• \vec { j } \wedge \vec { i } =-\vec { k }
• \vec { k } \wedge \vec { j } =-\vec { i }
• \vec { i } \wedge \vec { k } =-\vec { j }
• \vec { i } \wedge \vec { i } =\vec { j } \wedge \vec { j } =\vec { k } \wedge \vec { k } =0

Applications du produit vectoriel

a-Calcul d’aire d’un triangle/parallélogramme

L’aire A d’un triangle ABC est donnée par :

S=\frac { 1 }{ 2 } \left| \vec { AB } \wedge \vec { AC } \right|

Démonstration : Soit ABC un triangle. On considère la hauteur issue de C. On note h sa longueur.

S=\frac { AB\times h }{ 2 } =\frac { AB\times AC\sin { \alpha } }{ 2 } =\frac { 1 }{ 2 } \left| \vec { AB } \wedge \vec { AC } \right|

clubsuit L’aire d’un parallélogramme étant le double de l’aire du triangle formé par trois sommets de ce parallélogramme, on a:

S=\left| \vec { AB } \wedge \vec { AC } \right|

b- Moment d’une force

Soit une planche en équilibre au bord d’un muret. Pour la déséquilibrer, on peut poser une charge sur la partie en porte-à-faux, au-dessus du vide. La capacité de cette charge à faire basculer la planche n’est pas la même suivant qu’elle est posée près du muret ou au bout de la planche. De même on peut, au même endroit, placer une charge plus lourde et constater une différence de basculement.

Le « pouvoir de basculement »dépend donc de l’intensité de la force, mais également de la position relative du point d’application de la force, et du point de rotation réel ou virtuel considéré.

On intègre ces trois composantes du problème par le modèle de moment d’une force, qui représente l’aptitude d’une force à faire tourner un système mécanique autour d’un point donné, qu’on nommera pivot.

 Le moment d’une force F s’exerçant au point P par rapport au pivot O, est le vecteur:

\vec { M } =\vec { OP } \wedge \vec { F }

où ∧ désigne le produit vectoriel.

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Mécanique du point matériel : Cours, résumé, exercices et examens corrigés.

Introduction

La mécanique du point concerne les objets matériels dont l’extension spatiale est très faible : leurs déformations et l’énergie liée à leur mouvement propre de rotation peuvent ainsi être négligées devant les énergies mises en jeu. Cependant un objet aussi volumineux que la terre ou le soleil peut dans certains cas être assimilable à un point en ce qui concerne, par exemple, son action sur des corps dans son entourage.

Système de coordonnées

Pour quantifier les mesures, le plus évident consiste à prendre un système d’axes orthonormé lié au repère qui permettra de déterminer les composantes du mouvement (position, vitesse …) et des forces. Mais ce n’est pas la seule possibilité. De nombreux problèmes sont plus simples en utilisant un système de coordonnées cylindrique, sphérique …

Dans tous les cas il faudra définir une origine et 3 vecteurs unitaires qui définiront les directions des axes. Ces vecteurs constituent la base.

1- Système de coordonnées cartésiennes

Chaque position est repérée par ses coordonnées. S’il s’agit d’un repère linéaire par une seule coordonnée (x), d’un repère plan par deux coordonnées (x,y) et dans l’espace par trois coordonnées (x,y,z). ces coordonnées sont les projection de la position sur chaque axe doté d’un vecteur unitaire.

La position peut être exprimée par un vecteur position qui lie l’origine du repère choisi à la position.

Le repère est orthonormé, c’est-à-dire que les vecteurs unitaires sont normés à l’unité et orthogonaux entre eux.

2- Système de coordonnées cylindrique

Si le mouvement du point M est circulaire dans le plan (XOY) et translate suivant l’axe (OZ) on repère la position M par les coordonnées cylindriques (r,θ, z).

– r : représente la distance du point M à l’axe Oz ;

– θ : Définit la position du point M autour de Oz (θ angle compris entre 0 et 2π) ;

– z : représente la cote du point M.

3- Système de coordonnées sphériques

Si le mouvement de M est circulaire suivant tous les axes on utilise les coordonnées sphériques (r, θ, φ)

– r : représente la distance du point M à l’origine O ;

– θ et φ : définissent la direction dans laquelle, depuis le point O, on voit le point M (θ angle compris entre O et π, φ angle compris entre 0 et 2π).

Plan du cours N°1 de mécanique du point matériel

I – Système de coordonnées – Cinématique du point matériel (avec et sans changement de référentiel).

II – Loi fondamentale et théorèmes généraux de la dynamique du point matériel.

III – Travail et énergie.

IV – Les mouvements à force centrale.

V – Vibrations simples : Systèmes à un degré de liberté.

VI -Chocs de deux particules.

Plan du cours N°2 de mécanique du point_matériel

Calcul vectoriel

Analyse dimensionnelle

Calcul d’incertitude

Cinématique

Mouvement relatif

Dynamique

Travail et énergie

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Liens de téléchargement des exercices et examens corrigés sur la mécanique du point matériel

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