Dérivées : Cours-Résumés-Exercices corrigés

I- Dérivabilité en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R à valeurs dans R (respectivement C). Soit x0 un réel élément de l’intervalle I.
La fonction f est dérivable en x0 si et seulement si le rapport \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 } a une limite réelle (respectivement complexe) quand x tend vers x0.

Quand f est dérivable en x0, le nombre \lim _{ x\rightarrow x0 }{ \frac { f(x)-f(x0 }{ x-x0 } } s’appelle le nombre dérivé de f en x0 et se note f′(x0).

Ainsi f^{ \prime }\left( x \right) =\lim _{ x\rightarrow x0 }{ \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 } }

La fonction x\rightarrow \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 }est la « fonction taux d’accroissement » de f en x0. Le nombre dérivé en x0 est la valeur limite de la fonction taux en x0.
Si on pose x = x0 + h, on obtient une autre écriture du nombre dérivé :

f^{ \prime }\left( x0 \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x0+h \right) -f\left( x0 \right) }{ h } }

II- Dérivabilité sur un intervalle

• Si une fonction f (x) est dérivable en tout point de l’intervalle I = ]a ; b[, elle est dite dérivable sur l’intervalle I.
• f est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f′ qui à tout a dans I associe f′(a).

III- Dérivabilité et continuité

f est une fonction définie sur un intervalle I, a est un réel de I. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Une fonction dérivable en un point est continue en ce point.

La réciproque est fausse : une fonction continue n’est pas forcément dérivable. Par exemple la fonction y = |x| est continue mais pas dérivable en x = 0 (les dérivées à gauche et à droite ne sont pas égales). Il en est ainsi pour toutes les fonctions possédant des « pointes ».

IV- Dérivées successives

f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Sa fonction dérivée f′ s’appelle la fonction dérivée première (ou d’ordre 1) de f. Lorsque f′ est dérivable sur I, sa fonction dérivée est notée f′′; f′′ est appelée dérivée seconde (ou dérivée d’ordre 2) de f.

De manière récurrente, pour tout entier naturel n ≥ 2, on définit la fonction dérivée n-ième (ou d’ordre n) comme étant la fonction dérivée de la fonction d’ordre n − 1, f(1) = f′ et pour tout n ≥ 2, f(n) = f(n−1)′

Exemple

f:\quad x\rightarrow \cos { (x) } est une fonction sur R et on a f\prime (x)=-\sin { (x) }, f\prime \prime (x)=-\cos { (x) } , f^{ (3) }\left( x \right) =\sin { (x) }, f^{ (4) }\left( x \right) =\cos { (x) } et ainsi de suite…

V- Dérivée d’une fonction composée

 g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et pour tout x de I, u(x) appartient à J.

Alors la fonction f définie par f\left( x \right) =g\circ u(x)=g\left( u(x) \right) est dérivable sur I et pour tout x de I,

f\prime \left( x \right) =u\prime (x)\times g\prime \left( u(x) \right)

Démonstration

Pour tout a ∈ I, pour tout réel h non nul tel que a + h ∈ I,

\frac { f(a+h)−f(a) }{ h } =\frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ h } =\frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ u(a+h)−u(a) } \times \frac { u(a+h)−u(a) }{ h }

Or u est dérivable en a, d’où l \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { u(a+h)−u(a) }{ h } =u\prime (a) }

De plus, u est dérivable en a, u est donc continue en a, ce qui donne : \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad u(a+h)=u(a) }

On a également u(a) ∈ J et g est dérivable sur J, d’où : \lim _{ X\rightarrow u(a) }{ \quad \frac { g(X)−g(u(a)) }{ X−u(a) } =g\prime (u(a)) }

On obtient alors : \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad \frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ u(a+h)−u(a) } =g\prime (u(a)) }

Donc: \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad \frac { f(a+h)−f(a) }{ h } =u\prime (a)\times g\prime (u(a)) }

et g ◦ u est dérivable en a et (g\circ u)\prime (a)=u\prime (a)×g\prime (u(a))

On retrouve ainsi une propriété vue en première : si g(x) = f(ax + b), alors g'(x) =af′(ax + b)

Exemples

• u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction f définie sur I par f(x)=\sqrt { u(x) } est dérivable sur I, et pour tout x de I : f\prime (x)=\frac { u\prime (x) }{ 2\sqrt { u(x) } }
• u est une fonction dérivable sur un intervalle I et n est un entier naturel non nul. Alors la fonction f définie par f(x)={ [u(x)] }^{ n } est dérivable sur I et pour tout x de I : f\prime (x)={ n[u(x)] }^{ n-1 }\times u\prime (x)

VI- Dérivées et opérations sur les fonctions

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un réel. Alors ku, u + v et uv sont dérivables sur I et :

(ku)\prime =ku\prime ;\quad \quad \quad (u+v)\prime =u\prime +v\prime ;\quad \quad \quad (uv)\prime =u\prime v+uv\prime

Si, de plus v ne s’annule pas sur I, alors \frac { 1 }{ v } \quad et\quad \frac { u }{ v } sont dérivables sur I et :

(\frac { 1 }{ v } )\prime =-\frac { v\prime }{ { v }^{ 2 } } \quad et\quad (\frac { u }{ v } )\prime =\frac { u\prime v-uv\prime }{ { v }^{ 2 } }

Remarque : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de leur domaine de définition.

Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :

VII- Dérivées des fonctions usuelles

 Voici un tableau de la dérivée de quelques fonctions usuelles

VIII- Exercices d’applications

Exercices 1

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

1- f est la fonction définie sur [0; +∞[ par : f(x)=(x−1)\sqrt { x }

2- f est la fonction définie sur R \ {−1; 0} par : f(x)=\frac { { 4x }^{ 2 }+x+2 }{ { x }^{ 2 }+x }

Solution :

1- f est dérivable sur ]0; +∞[, et f(x) = u(x)v(x) avec u(x) = x − 1 et v(x)=\sqrt { x }

On a alors u\prime (x)=1 ; v\prime (x)=\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } et f\prime =u\prime v+uv\prime

f′(x)=1×\sqrt { x } +(x−1)×\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } =\sqrt { x } +\frac { x−1 }{ 2\sqrt { x } }

2- f est dérivable sur R \ {−1; 0}, et f(x)=\frac { u(x) }{ v(x) } avec u(x)=4{ x }^{ 2 }+x+2\quad et\quad v(x)={ x }^{ 2 }+x

On a alors : u\prime (x)={ 8x }+1\quad et\quad v\prime (x)={ 2x }+1\quad et\quad f\prime =\frac { u\prime v−uv\prime }{ { v }^{ 2 } }

donc:

f\prime (x)=\frac { ({ 8x }+1)({ x }^{ 2 }+x)−(4{ x }^{ 2 }+x+2)({ 2x }+1) }{ { ({ x }^{ 2 }+x) }^{ 2 } }

Exercice 2

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

1- f est la fonction définie sur R \ {0} par : f(x)=\sin { (\frac { 1 }{ x } } )

2- f est la fonction définie sur R par :f(x)=\cos { ({ x }^{ 2 } } )

Solution

1- f est dérivable sur R \ {0}. Pour tout x ∈ R \ {0}, f(x)=g\circ u(x)\quad ou\quad u(x)=\frac { 1 }{ x } et\quad g(x)=\sin { (x) }

u\prime (x)=-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \quad et\quad g\prime (x)=\cos { (x) }

On a alors :

f\prime (x)=-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \cos { (\frac { 1 }{ x } ) }

2- f est dérivable sur R. Pour tout réel x, f(x)=g\circ u(x)\quad ou\quad u(x)={ x }^{ 2 }\quad et\quad g(x)=\cos { (x) }

\quad u\prime (x)=2{ x }\quad et\quad g\prime (x)=-\sin { (x) }

On a alors :

\quad f\prime (x)=-{ 2x }\sin { ({ x }^{ 2 }) }

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Analyse 1 : Cours, Résumés, Exercices et Examens corrigés

Plan du cours d’Analyse 1

1-Les réels

1.1 Un peu d’histoire

1.2 Introduction aux nombres réels

1.2.1 Quelques règles de calcul

1.3 Intervalles de R

1.4 Voisinage

1.5 Bornes supérieures, inférieures, maximum et minimum

1.6 Valeur absolue

1.7 Partie entière

2- Les fonctions d’une variable réelle

2.1 Notions de bases sur les fonctions

2.2 Quelques propriétés des fonctions

2.2.1 Les opérations algébriques

2.2.2 La restriction

2.2.3 Fonctions définies par morceaux

2.2.4 Fonctions majorées, minorées, bornées

2.3 La composition

2.3.1 Monotonie

2.3.2 Parité

2.3.3 Fonctions périodiques

2.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité

3- Limites d’une fonction

3.1 Limites finie d’une fonction en un point

3.2 Limites infinie d’une fonction en un point

3.3 Limites à droite, limite à gauche

3.4 Limites d’une fonction en +∞ ou -∞

3.5 Propriétés des limites

3.5.1 Unicité de la limite, majoration, minoration

3.5.2 Limites et comparaison

3.6 Opérations algébriques sur les limites

3.6.1 Limite d’une somme de fonctions

3.6.2 Limite d’un produit de fonctions

3.6.3 Limite d’un quotient de fonctions

3.7 Autres propriétés sur les limites

3.7.1 Limite et composée

3.7.2 Limite et monotonie

3.7.3 Critère de Cauchy

4- Quelques fonctions usuelles

4.1 Fonction constante

4.2 Fonction identité

4.3 Fonction valeur absolue

4.4 Fonction partie entière

4.5 Fonction puissances entières  

4.6 Fonction polynôme

4.7 Fonction racine n-ième, puissance rationnelle

4.8 Fonction homographique

4.9 Fonction logarithme népérien

4.10 Fonction exponentielle

4.11 Fonctions circulaires (ou trigonométriques)

4.11.1 Fonction sinus

4.11.2 Fonction cosinus

4.11.3 Fonction tangente

4.11.4 Fonction cotangente

4.12 Fonctions hyperboliques

4.12.1 Fonction cosinus hyperbolique

4.12.2 Fonction sinus hyperbolique

4.12.3 Fonction tangente hyperbolique

4.12.4 Fonction cotangente hyperbolique

4.13 Fonctions réciproques usuelles

4.13.1 Réciproque d’une fonction homographique

4.13.2 Réciproque de la fonction sinus : la fonction arc sinus

4.13.3 Réciproque de la fonction cosinus : la fonction arc cosinus

4.13.4 Réciproque de la fonction tangente : la fonction arc tangente

4.13.5 Propriétés des fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente

4.13.6 Equations du type sin(x) = a, cos(x) = a et tan(x) = a

4.13.7 Réciproque des fonctions sh et th

5- Continuité des fonctions

5.1 Caractérisation de Weierstrass

5.2 Continuité, opérations algébriques et composition

5.3 Théorèmes sur la continuité

5.4 Continuité, monotonie, injectivité et bijectivité

6- Dérivée d’une fonction

6.1 Définition de la dérivabilité de f

6.2 Dérivabilité et continuité

6.3 Dérivabilité, opérations algébriques et composition

6.4 Dérivée et monotonie

6.5 Dérivées et extrema

6.6 Théorèmes fondamentaux sur les dérivées

6.7 Dérivées des fonctions usuelles

6.8 Dérivées successives

6.8.1 Dérivée n^ième

6.8.2 Classes de fonction

6.8.3 Fonction de classe n

6.8.4 Fonction de classe infini

6.8.5 Dérivée n^ième  d’une somme de fonctions

6.8.6 Dérivée n^ième  d’un produit de fonctions

6.8.7 Dérivée n^ième de la composée de deux fonctions.

6.9 Fonctions convexes .

7- Les suites

7.1 Définition

7.2 Deux suites classiques

7.2.1 Suites arithmétiques

7.2.2 Suites géométrique

7.3 Récurrence d’ordre 2

7.4 Limite de suites

7.4.1 Introduction

7.4.2 Opération algébriques sur les limites

7.4.3 Résultats sur les limites de suites

7.5 Suites réelles et monotonie

7.6 Suites adjacentes

7.7 Suites extraites

7.8 Critère de Cauchy

7.9 Fonctions et suites

8- Equations différentielles

8.1 Equation simple

8.1.1 Equation x’ = 0

8.1.2 Equation x’ = ax(t)

8.2 Différents types d’équations

8.3 Equation linéaire

8.4 Solutions

8.5 Equations différentielles linéaire d’ordre 1

8.5.1 Définition

8.5.2 Primitives

8.5.3 EDO linéaire sans second membre

8.5.4 EDO linéaire avec second membre

8.5.5 Cas particulier

8.5.6 Existence et unicité

8.6 Equations différentielles linéaire d’ordre 2

8.6.1 Définition

8.6.2 Equations différentielle homogène à coefficients constants

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