Equations différentielles : Cours-Résumés-Exercices corrigés

Une équation différentielle est une équation :

1- Dont l’inconnue est une fonction (généralement notée y(x) ou simplement y) ;

2- Dans laquelle apparaissent certaines des dérivées de la fonction (dérivée première y’ , ou dérivées d’ordres supérieurs\quad { y }^{ \prime \prime },{ y }^{ (3) },…\quad

Une équation différentielle d’ordre n est une équation de la forme :

f(x,y,{ y }^{ \prime },…,{ y }^{ (n) })=0

où F est une fonction de (n + 2) variables.

I- Équation différentielle linéaire

1- Une équation différentielle d’ordre n est linéaire si elle est de la forme :

{ a }_{ 0 }(x){ y }+{ a }_{ 1 }(x){ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }(x){ y }^{ (n) }=g\left( x \right)

où les ai et g sont des fonctions réelles continues sur un intervalle I ⊂ R.

2- Une équation différentielle linéaire est homogène, ou sans second membre, si la fonction g ci-dessus est la fonction nulle :

{ a }_{ 0 }(x){ y }+{ a }_{ 1 } (x){ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }(x){ y }^{ (n) }=0

3- Une équation différentielle linéaire est à coefficients constants si les fonctions ai ci-dessus sont constantes :

{ a }_{ 0 }{ y }+{ a }_{ 1 }{ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }{ y }^{ (n) }=g\left( x \right)

où les ai sont des constantes réelles et g une fonction continue.

Exemples:

• { y }^{ \prime }+5xy={ e }^{ x } est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre.
• { y }^{ \prime }+5xy=0 est l’équation différentielle homogène associée à la précédente.
• 2{ y }^{ \prime \prime }-3{ y }^{ \prime }+5y=0 est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, sans second membre.
• { y }^{ \prime 2 }-y=x et { y }^{ \prime \prime }.{ y }^{ \prime }-y=0 ne sont pas des équations différentielles linéaires.

II- Équation différentielle linéaire du premier ordre

1- Définition

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type :

{ y }^{ \prime }=a(x)y+b(x)

où a et b sont des fonctions définies sur un intervalle ouvert I de R.

2- Solutions d’une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre { y }^{ \prime }+a(x)y=0 est :

f\left( x \right) =C{ e }^{ (-A(x)) }

où C est une constante réelle et A une primitive de a sur l’intervalle I.

3- Problème de Cauchy – I

Le problème de Cauchy associé à une équation linéaire du premier ordre admet une unique solution.

III- Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants

1- Définition

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants toute équation différentielle de la forme

a{ y }^{ \prime \prime }+b{ y }^{ \prime }+cy=f\left( x \right)

où a, b et c sont trois réels fixés, avec a#0, et f est une fonction de I dans R.

2- Résolution de l’équation linéaire homogène du second ordre

On admettra le théorème de résolution de l’équation linéaire homogène du second ordre suivant :

On considère l’équation

a{ y }^{ \prime \prime }+b{ y }^{ \prime }+cy=0

et son équation caractéristique associée a{ r }^{ 2 }+b{ r }+c=0 . Le tableau ci-dessous donne les solutions de l’équation en fonction du discriminant \triangle ={ b }^{ 2 }-4ac

3- Problème de Cauchy – II

Le problème de Cauchy associé à une équation linéaire du second ordre à coefficients constants admet une unique solution.

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