Les séries de Fourier sont un outil de base pour étudier les fonctions périodiques. C’est à partir de ce concept qu’une branche mathématique appelée analyse harmonique a été développée.

L’étude des fonctions périodiques par séries de Fourier est divisée en deux parties :

• L’analyse, qui consiste en la détermination de la suite de ses coefficients de Fourier ;
• La synthèse, qui permet de retrouver, en un certain sens, la fonction à l’aide de la suite de ses coefficients.

La théorie des séries de Fourier établit la correspondance entre les fonctions périodiques et les coefficients de Fourier. Par conséquent, l’analyse de Fourier peut être considérée comme une nouvelle méthode pour décrire les fonctions périodiques. A partir des coefficients de Fourier, vous pouvez simplement écrire des opérations telles que la différenciation. La construction de solutions fonctionnelles périodiques d’équations fonctionnelles peut être simplifiée à la construction de coefficients de Fourier correspondants.

Domaines Applications des séries de Fourier

Les séries de Fourier se rencontrent dans :

• La décomposition de signaux périodiques,
• L’étude des courants électriques,
• L’étude des ondes cérébrales,
• La synthèse sonore,
• Le traitement d’images,
• etc…

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Analyse 3 : Cours, résumés, TD, Exercices et examens corrigés

Plan du cours de l’analyse 3

Chapitre 1: Intégrales Généralisées

1. Introduction
2. Intégrale généralisée d’une fonction positive

Chapitre 2: Séries Numériques dans un espace vectoriel normé

1. L’utilisation du symbole Somme ∑
2. Définition des séries numériques
3. Propriétés des séries numériques
4. Séries absolument convergentes
5. Séries à termes positifs
6. Séries à termes quelconques
7. Annexe

Chapitre 3: Suites et Séries de Fonctions

Chapitre 4: Séries entières

1. Définitions
2. Calcul du rayon de convergence
3. Opérations sur les séries entières
4. Convergence uniforme d’une série entière
5. Développement en série entière d’une fonction
6. Résolution d’équations différentielles
7. Annexe

Chapitre 5: Séries de Fourier

1. Introduction et théorie

2. Préparatifs

3. Polynômes trigonométriques

4. Vers les séries de Fourier

5. Élaborer une théorie à partir de l’exemple

6. Convergence de la série de Fourier

7. Annexe

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