Transformée de Laplace : Cours-Résumés-Exercices corrigés

Une des méthodes les plus efficaces pour résoudre certaines équations différentielles est d’utiliser la transformation de Laplace.

Une analogie est donnée par les logarithmes, qui transforment les produits en sommes, et donc simplifient les calculs.

La transformation de Laplace transforme des fonctions f(t) en d’autres fonctions F(s).

La transformée de Laplace est une transformation intégrale, c’est-à-dire une opération associant à une fonction ƒ une nouvelle fonction dite transformée de Laplace de ƒ notée traditionnellement F et définie et à valeurs complexes), via une intégrale.

la transformation de Laplace est souvent interprétée comme un passage du domaine temps, dans lequel les entrées et sorties sont des fonctions du temps, dans le domaine des fréquences, dans lequel les mêmes entrées et sorties sont des fonctions de la « fréquence ».

Plan du cours Transformée de Laplace

1 Introduction

2 Fonctions CL

3 Définition de la transformation de Laplace

4 Quelques exemples

5 Existence, unicité, et transformation inverse

6 Linéarité

7 Retard fréquentiel ou amortissement exponentiel

8 Calcul de la transformation inverse en utilisant les tables

9 Dérivation et résolution d’équations différentielles

10 Dérivation fréquentielle

11 Théorème du ”retard”

12 Fonctions périodiques

13 Distribution ou impulsion de Dirac

14 Dérivée généralisée des fonctions

15 Changement d’échelle réel, valeurs initiale et finale

16 Fonctions de transfert

16.1 Définition de la fonction de transfert

16.2 Blocks diagrammes

17 Produit de convolution

18 Annexe 1: Décomposition en éléments simples

19 Annexe 2 : Utilisation des théorèmes

19.1 Dérivation temporelle

19.2 Dérivation fréquentielle

19.3 Retard fréquentiel

19.4 Retard temporel

19.5 Produit de convolution

20 Annexe 3: Résolution d’équations différentielles avec des conditions initiales non nulles

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Régulation – Automatique : Cours et exercices

La régulation permet de maintenir une grandeur physique à une valeur constante quelques soient les perturbations extérieures. L’objectif global de la régulation peut se résumer par ces trois mots clefs : Mesurer, Comparer et Corriger. Nous sommes donc amenés à effectuer des mesures pour obtenir certaines connaissances avant d’entreprendre une action. Ces mesures seront obtenues par l’intermédiaire d’appareillages spécifiques.

Le principe de base d’un asservissement est de mesurer l’écart entre la valeur réelle et la valeur cible de la grandeur asservie, et de piloter les actionneurs agissant sur cette grandeur pour réduire cet écart.

a- Schéma fonctionnel : C’est une représentation graphique abrégée des entités entrée et sortie d’un système physique.

b- Système : C’est un dispositif isolé soumis à des lois bien définies. Chaque système a plusieurs entrées et sorties par lesquelles on peut exercer une influence sur ce système.

c- La consigne : c’est ce que je veux, ce que je désire obtenir, exemple je veux 20 degrés centigrades dans mon salon.

d- La grandeur réglante : c’est la grandeur qui va agir sur le processus (ex : radiateur) pour permettre dans notre exemple de modifier la température.

e- La grandeur réglée : c’est ce que j’ai réellement, exemple j’ai 18 degrés centigrades dans ma pièce alors que j’en veux 20.

f- Les perturbations : ce sont des phénomènes qui peuvent modifier la bonne stabilité d’une boucle de régulation (ex : ouverture d’une fenêtre dans le cas d’une régulation de température d’un local domestique).

g- Le comparateur : Compare en permanence la consigne (w) et la grandeur réglée (x) et donne le résultat de cette comparaison au régulateur.

h- l’erreur : Appelé également signal de commande, c’est la somme algébrique des signaux d’entrés et de sorties.

Plan du Cours et exercices sur la Régulation

CHAPITRE I : INTRODUCTION

1- QUELQUES DEFINITIONS

2- STRUCTURE D’UN SYSTEME ASSERVI :

3- REGULATION MANUEL DE NIVEAU

4- REGULATION AUTOMATIQUE DE NIVEAU :

5-LES SIGNAUX DE COMMUNICATION- CABLAGE :

6- LA LOI DE COMMANDE

7- LES ELEMENTS CONSTITUTIFS DE LA CHAINE DE REGULATION

8-EXERCICES

CHAPITRE II SYSTEMES LINEAIRES

1 – DEFINITIONS

2- CALCUL OPERATIONNEL

3- QUELQUES PROPRIETES DES TRANSFORMEES DE LAPLACE

4- APPLICATION DES TRANSFORMEES DE LAPLACE A LA RESOLUTION DES EQUATIONS DIFFERENTIELLES

5- DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES D’UNE FRACTION RATIONNELLE

6-EXERCICES

CHAPITRE III : ALGEBRE DES SCHEMAS FONCTIONNELS ET FONCTIONS DE TRANSFERT DES SYSTEMES

1- INTRODUCTION

2- TERMINOLOGIE DES SHEMAS FONCTIONNELS

3- SYSTEMES EN ENTREES MULTIPLES. APPLICATION DU PRINCIPE DE SUPERPOSITION

4-EXERCICES

CHAPITRE IV : SYSTEMES LINEAIRES

1- SYSTEMES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE

2- REPONSES INDICIELLES D’UN SYSTEME DE PREMIER ORDRE

3- SYSTEMES LINEAIRES DU DEUXIEME ORDRE

4- EXERCICES

CHAPITRE V : STABILITE DES SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES

1- DEFINITION

2- CONDITION FONDAMENTALE DE STABILITE

3- CRITERES DE STABILITE ROUTH ET HURWITZ

4- EXERCICES

CHAPITRE VI : LES DIAGRAMMES DE BODES ET NYQUIST

1- INTRODUCTION :

2-ÉCHELLE SEMI-LOGARITHMIQUE

3-DEFINITION DE L’ECHELLE LOGARITHMIQUE

4-TRACE DES DIAGRAMMES DE BODES

5- TRACE DES DIAGRAMMES NYQUIST

6- EXERCICES

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