Intégrale de Riemann – Cours et exercices corrigés

L’intégrale de Riemann est un moyen de définir l’intégrale, sur un segment, d’une fonction réelle bornée et presque partout continue. En termes géométriques, cette intégrale est interprétée comme l’aire du domaine sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement. ( définition Wikipédia)

Plan du cours sur l’Intégrale de Riemann

1           Construction.

1.1          Intégrale des fonctions en escalier

1.1.1        Subdivisions

1.1.2        Fonctions en escalier 

1.1.3        Intégrale

1.2         Propriétés élémentaires de l’intégrale des fonctions en escalier

1.3         Intégrales de Riemann

1.3.1        Sommes de Riemann, sommes de Darboux

1.3.2        Fonction Riemann-intégrables

1.4         Propriétés élémentaires

1.4.1        Propriétés fondamentales

1.4.2        Intégrales orientées

1.4.3        Sommes de Riemann particulières

2           Caractérisation des fonctions Riemann-intégrables

2.1         Caractérisation de Lebesgues

2.1.1        Ensemble négligeable, propriétés vraies presque partout

2.1.2        Oscillation d’une fonction.

2.1.3        Le théorème de Lebesgue.

2.2         Conséquences.

2.3         Mesure de Riemann.

3           Fonctions réglées.

3.1         Définition, propriétés.

3.2         Exemples.

3.3         Caractérisation

4           Propriétés.

4.1         Intégrale fonction de la borne supérieure.

4.1.1        Continuité, dérivabilité.

4.1.2        Primitives

4.2         Calcul.

4.2.1        Translations, homotéthies.

4.2.2        Intégration par parties

4.2.3        Changement de variable

4.3         Relations, inégalités.

4.3.1        Formules de Taylor

4.3.2        Formules de la moyenne

4.3.3        Inégalités.

5           Intégrales dépendants d’un paramètre.

5.1         Suites d’intégrales

5.2         Continuité sous le signe R

5.3         Dérivabilité sous le signe R

5.4         Théorème de Fubbini.

6           Calcul des primitives.

6.1         Généralité.

6.2         Méthodes

6.2.1        Fractions rationnelles.

6.2.2        Fonctions trigonométriques

6.2.3        Intégrales abéliennes.

6.3         Primitives usuelles.

7           Calculs approchés d’intégrales.

7.1         Interpolation polynomiale

7.1.1        Méthode des rectangles

7.1.2        Méthode des trapèzes

7.2         Formule d’Euler – Mac-Laurin

7.2.1        Polynômes et nombres de Bernoulli

7.2.2        Applications des nombres et polynômes de Bernoulli

7.2.3        La formule d’Euler – Mac-Laurin

7.3         Méthode de Newton

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Algèbre 1 : Cours-Résumés-Exercices-Examens-Corrigés

L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations linéaires, formalisation générale des théories des systèmes d’équations linéaires.

L’algèbre linéaire est un langage universel qui sert à décrire de nombreux phénomènes en mécanique, électronique, et économie, par exemple. Il n’est donc pas étonnant de retrouver cette matière enseignée au début de nombreux cursus universitaires car elle est nécessaire pour pouvoir exprimer des concepts plus avancées les années suivantes. Ainsi il est crucial pour un (e) étudiant(e) d’en maîtriser son vocabulaire et sa grammaire au plus tôt. Pourtant, même si elle est un domaine des mathématiques, il n’est pas nécessaire d’être un (e) mathématicien (ne) averti (e) pour l’apprendre, fort heureusement.

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