Intégrale de Riemann – Cours et exercices corrigés

L’intégrale de Riemann est un moyen de définir l’intégrale, sur un segment, d’une fonction réelle bornée et presque partout continue. En termes géométriques, cette intégrale est interprétée comme l’aire du domaine sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement. ( définition Wikipédia)

Plan du cours sur l’Intégrale de Riemann

1           Construction.

1.1          Intégrale des fonctions en escalier

1.1.1        Subdivisions

1.1.2        Fonctions en escalier 

1.1.3        Intégrale

1.2         Propriétés élémentaires de l’intégrale des fonctions en escalier

1.3         Intégrales de Riemann

1.3.1        Sommes de Riemann, sommes de Darboux

1.3.2        Fonction Riemann-intégrables

1.4         Propriétés élémentaires

1.4.1        Propriétés fondamentales

1.4.2        Intégrales orientées

1.4.3        Sommes de Riemann particulières

2           Caractérisation des fonctions Riemann-intégrables

2.1         Caractérisation de Lebesgues

2.1.1        Ensemble négligeable, propriétés vraies presque partout

2.1.2        Oscillation d’une fonction.

2.1.3        Le théorème de Lebesgue.

2.2         Conséquences.

2.3         Mesure de Riemann.

3           Fonctions réglées.

3.1         Définition, propriétés.

3.2         Exemples.

3.3         Caractérisation

4           Propriétés.

4.1         Intégrale fonction de la borne supérieure.

4.1.1        Continuité, dérivabilité.

4.1.2        Primitives

4.2         Calcul.

4.2.1        Translations, homotéthies.

4.2.2        Intégration par parties

4.2.3        Changement de variable

4.3         Relations, inégalités.

4.3.1        Formules de Taylor

4.3.2        Formules de la moyenne

4.3.3        Inégalités.

5           Intégrales dépendants d’un paramètre.

5.1         Suites d’intégrales

5.2         Continuité sous le signe R

5.3         Dérivabilité sous le signe R

5.4         Théorème de Fubbini.

6           Calcul des primitives.

6.1         Généralité.

6.2         Méthodes

6.2.1        Fractions rationnelles.

6.2.2        Fonctions trigonométriques

6.2.3        Intégrales abéliennes.

6.3         Primitives usuelles.

7           Calculs approchés d’intégrales.

7.1         Interpolation polynomiale

7.1.1        Méthode des rectangles

7.1.2        Méthode des trapèzes

7.2         Formule d’Euler – Mac-Laurin

7.2.1        Polynômes et nombres de Bernoulli

7.2.2        Applications des nombres et polynômes de Bernoulli

7.2.3        La formule d’Euler – Mac-Laurin

7.3         Méthode de Newton

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Analyse 3 : Cours, résumés, TD, Exercices et examens corrigés

Plan du cours de l’analyse 3

Chapitre 1: Intégrales Généralisées

1. Introduction
2. Intégrale généralisée d’une fonction positive

Chapitre 2: Séries Numériques dans un espace vectoriel normé

1. L’utilisation du symbole Somme ∑
2. Définition des séries numériques
3. Propriétés des séries numériques
4. Séries absolument convergentes
5. Séries à termes positifs
6. Séries à termes quelconques
7. Annexe

Chapitre 3: Suites et Séries de Fonctions

Chapitre 4: Séries entières

1. Définitions
2. Calcul du rayon de convergence
3. Opérations sur les séries entières
4. Convergence uniforme d’une série entière
5. Développement en série entière d’une fonction
6. Résolution d’équations différentielles
7. Annexe

Chapitre 5: Séries de Fourier

1. Introduction et théorie

2. Préparatifs

3. Polynômes trigonométriques

4. Vers les séries de Fourier

5. Élaborer une théorie à partir de l’exemple

6. Convergence de la série de Fourier

7. Annexe

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Cours N°1 d’analyse 3

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