Algèbre 1 : Cours-Résumés-Exercices-Examens-Corrigés

L’algèbre linéaire est la branche des mathématiques qui s’intéresse aux espaces vectoriels et aux transformations linéaires, formalisation générale des théories des systèmes d’équations linéaires.

L’algèbre linéaire est un langage universel qui sert à décrire de nombreux phénomènes en mécanique, électronique, et économie, par exemple. Il n’est donc pas étonnant de retrouver cette matière enseignée au début de nombreux cursus universitaires car elle est nécessaire pour pouvoir exprimer des concepts plus avancées les années suivantes. Ainsi il est crucial pour un (e) étudiant(e) d’en maîtriser son vocabulaire et sa grammaire au plus tôt. Pourtant, même si elle est un domaine des mathématiques, il n’est pas nécessaire d’être un (e) mathématicien (ne) averti (e) pour l’apprendre, fort heureusement.

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Analyse 1 : Cours, Résumés, Exercices et Examens corrigés

Plan du cours d’Analyse 1

1-Les réels

1.1 Un peu d’histoire

1.2 Introduction aux nombres réels

1.2.1 Quelques règles de calcul

1.3 Intervalles de R

1.4 Voisinage

1.5 Bornes supérieures, inférieures, maximum et minimum

1.6 Valeur absolue

1.7 Partie entière

2- Les fonctions d’une variable réelle

2.1 Notions de bases sur les fonctions

2.2 Quelques propriétés des fonctions

2.2.1 Les opérations algébriques

2.2.2 La restriction

2.2.3 Fonctions définies par morceaux

2.2.4 Fonctions majorées, minorées, bornées

2.3 La composition

2.3.1 Monotonie

2.3.2 Parité

2.3.3 Fonctions périodiques

2.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité

3- Limites d’une fonction

3.1 Limites finie d’une fonction en un point

3.2 Limites infinie d’une fonction en un point

3.3 Limites à droite, limite à gauche

3.4 Limites d’une fonction en +∞ ou -∞

3.5 Propriétés des limites

3.5.1 Unicité de la limite, majoration, minoration

3.5.2 Limites et comparaison

3.6 Opérations algébriques sur les limites

3.6.1 Limite d’une somme de fonctions

3.6.2 Limite d’un produit de fonctions

3.6.3 Limite d’un quotient de fonctions

3.7 Autres propriétés sur les limites

3.7.1 Limite et composée

3.7.2 Limite et monotonie

3.7.3 Critère de Cauchy

4- Quelques fonctions usuelles

4.1 Fonction constante

4.2 Fonction identité

4.3 Fonction valeur absolue

4.4 Fonction partie entière

4.5 Fonction puissances entières  

4.6 Fonction polynôme

4.7 Fonction racine n-ième, puissance rationnelle

4.8 Fonction homographique

4.9 Fonction logarithme népérien

4.10 Fonction exponentielle

4.11 Fonctions circulaires (ou trigonométriques)

4.11.1 Fonction sinus

4.11.2 Fonction cosinus

4.11.3 Fonction tangente

4.11.4 Fonction cotangente

4.12 Fonctions hyperboliques

4.12.1 Fonction cosinus hyperbolique

4.12.2 Fonction sinus hyperbolique

4.12.3 Fonction tangente hyperbolique

4.12.4 Fonction cotangente hyperbolique

4.13 Fonctions réciproques usuelles

4.13.1 Réciproque d’une fonction homographique

4.13.2 Réciproque de la fonction sinus : la fonction arc sinus

4.13.3 Réciproque de la fonction cosinus : la fonction arc cosinus

4.13.4 Réciproque de la fonction tangente : la fonction arc tangente

4.13.5 Propriétés des fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente

4.13.6 Equations du type sin(x) = a, cos(x) = a et tan(x) = a

4.13.7 Réciproque des fonctions sh et th

5- Continuité des fonctions

5.1 Caractérisation de Weierstrass

5.2 Continuité, opérations algébriques et composition

5.3 Théorèmes sur la continuité

5.4 Continuité, monotonie, injectivité et bijectivité

6- Dérivée d’une fonction

6.1 Définition de la dérivabilité de f

6.2 Dérivabilité et continuité

6.3 Dérivabilité, opérations algébriques et composition

6.4 Dérivée et monotonie

6.5 Dérivées et extrema

6.6 Théorèmes fondamentaux sur les dérivées

6.7 Dérivées des fonctions usuelles

6.8 Dérivées successives

6.8.1 Dérivée n^ième

6.8.2 Classes de fonction

6.8.3 Fonction de classe n

6.8.4 Fonction de classe infini

6.8.5 Dérivée n^ième  d’une somme de fonctions

6.8.6 Dérivée n^ième  d’un produit de fonctions

6.8.7 Dérivée n^ième de la composée de deux fonctions.

6.9 Fonctions convexes .

7- Les suites

7.1 Définition

7.2 Deux suites classiques

7.2.1 Suites arithmétiques

7.2.2 Suites géométrique

7.3 Récurrence d’ordre 2

7.4 Limite de suites

7.4.1 Introduction

7.4.2 Opération algébriques sur les limites

7.4.3 Résultats sur les limites de suites

7.5 Suites réelles et monotonie

7.6 Suites adjacentes

7.7 Suites extraites

7.8 Critère de Cauchy

7.9 Fonctions et suites

8- Equations différentielles

8.1 Equation simple

8.1.1 Equation x’ = 0

8.1.2 Equation x’ = ax(t)

8.2 Différents types d’équations

8.3 Equation linéaire

8.4 Solutions

8.5 Equations différentielles linéaire d’ordre 1

8.5.1 Définition

8.5.2 Primitives

8.5.3 EDO linéaire sans second membre

8.5.4 EDO linéaire avec second membre

8.5.5 Cas particulier

8.5.6 Existence et unicité

8.6 Equations différentielles linéaire d’ordre 2

8.6.1 Définition

8.6.2 Equations différentielle homogène à coefficients constants

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