Algèbre 2 : Cours, Résumés, TD corrigés et Examens corrigés

On dit que E est un espace vectoriel de dimension finie si et seulement si E admet une partie génératrice de cardinal fini (c’est-à-dire contenant un nombre fini d’éléments)

Montrer qu’une application linéaire est inversible n’est à priori pas une chose évidente. Le déterminant permettra, dans certains cas, de montrer si c’est le cas ou non. Il permettra aussi, toujours dans certains cas, de résoudre des systèmes ou bien d’obtenir l’inverse d’une matrice. Enfin il servira à la diagonalisation et la trigonalisation des endomorphismes d’un espace vectoriel.

Un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire s’appelle un espace vectoriel euclidien ou plus simplement un espace euclidien

Définitions :

• Une matrice colonne est une matrice qui n’a qu’une colonne.
• Une matrice ligne est une matrice qui n’a qu’une ligne.
•  Une matrice carrée est une matrice qui a autant de ligne que de colonne. Ce nombre s’appelle l’ordre de la matrice. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n.
•  Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont les coefficients sous la diagonale sont tous nuls (mi j = 0 si i > j).

Plan du cours d’algèbre 2

1 Calcul matriciel

1.1 Définitions et propriétés

1.2 Opérations sur les matrices

1.2.1 Addition

1.2.2 Multiplication par un scalaire

1.2.3 Multiplication des matrices

1.3 Matrices élémentaires

1.3.1 Opérations élémentaires sur une matrice

1.3.2 Application pour déterminer l’inverse d’une matrice carrée

2 Déterminants

2.1 Déterminant d’ordre 2

2.2 Déterminant d’ordre 3

2.3 Déterminant d’ordre n

2.4 Applications

2.4.1 Calcul de l’inverse d’une matrice carrée d’ordre n

2.4.2 Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer )

3 Espaces Vectoriels

3.1 Espaces vectoriels

3.2 Sous-Espaces vectoriels

3.3 Famille Génératrice

3.4 Dépendance et Indépendance Linéaires – Bases

3.5 Existence de Bases (en dimension finie)

3.6 Les Théorèmes Fondamentaux sur la Dimension

3.7 Somme, Somme directe, Sous-Espaces Supplémentaires

4 Les Applications Linéaires

4.1 Applications Linéaires

4.2 Image et Noyau

4.3 Matrices Associées aux Applications Linéaires

4.4 Matrice d’un Vecteur. Calcul de l’Image d’un Vecteur

4.5 Matrice de l’Inverse d’une Application

4.6 Changement de Bases

4.7 Rang d’une Matrice

4.8 Matrices Remarquables

4.9 Application des Déterminants à la Théorie du Rang

4.9.1 Caractérisation des Bases

4.9.2 Comment reconnaître si une famille de vecteurs est libre

4.9.3 Comment reconnaître si un vecteur appartient à l’espace engendré par d’autres vecteurs

4.9.4 Détermination du rang

5 Valeurs Propres et Vecteurs Propres

5.1 Valeurs Propres et vecteurs propres

5.2 Propriétés des vecteurs propres et valeurs propres

5.3 Propriétés du polynôme caractéristique

5.4 Diagonalisation

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Analyse numérique et algorithme cours, Résumés, exercices et examens corrigés

L’analyse numérique a commencé bien avant la conception des ordinateurs et leur utilisation quotidienne que nous connaissons aujourd’hui.

Les premières méthodes ont été développées pour essayer de trouver des moyens rapides et efficaces de s’attaquer à des problèmes soit fastidieux à résoudre à cause de leur grande dimension (systèmes à plusieurs dizaines d’équations par exemple), soit parce qu’il n’existe pas solutions explicites connues même pour certaines équations assez simples en apparence.

Dès que les premiers ordinateurs sont apparus, ce domaine des mathématiques a pris son évolution et continue encore à se développer de façon très soutenue.

Les applications extraordinairement nombreuses sont entrées dans notre vie quotidienne directement ou indirectement. Nous les utilisons désormais sans nous en rendre compte mais surtout en ignorant la plupart du temps toute la théorie, l’expertise, le développement des compétences et l’ingéniosité des chercheurs pour en arriver là. Nous pouvons téléphoner, communiquer par satellite, faire des recherches sur internet, regarder des films où plus rien n’est réel sur l’écran, améliorer la sécurité des voitures, des trains, des avions, connaître le temps qu’il fera une semaine à l’avance,…et ce n’est qu’une infime partie de ce que l’on peut faire.

Plan du cours N°1 d’Analyse numérique et algorithme

Analyse Numérique

• Calculs numériques approchés
• Zéros de fonctions non-linéaires
• Approximation et Interpolation Polynomiale
• Intégration numérique
• Equations différentielles
• Systèmes linéaires

2. Algorithmique

• Introduction et initiation à l’algorithmique
• Terminologie – Définitions
• Notions Complémentaires et avancées

Plan du cours N°2 d’ Analyse numérique et algorithme

1. Les systèmes linéaires

1.1 Introduction

1.1.1 Gestion des erreurs

1.1.2 Exemple de problème menant à la résolution d’un système linéaire

1.2 Quelques rappels sur les matrices

1.2.1 Notations

1.2.2 Lien avec les applications linéaires

1.2.3 Opérations

1.2.4 Trace et déterminant

1.2.5 Matrice et produit scalaire

1.2.6 Valeurs propres, vecteurs propres et réduction de matrices

1.3 Normes vectorielles et matricielles

1.3.1 Rappels sur les normes vectorielles

1.3.2 Boules

1.3.3 Normes matricielles

1.3.4 Conditionnement

1.4 Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires

1.4.1 Principe des méthodes directes

1.4.2 Pivot de Gauss – Décomposition LU

1.4.3 Cas des matrices symétriques définies positives : la factorisation de Cholesky

1.4.4 Factorisation QR

1.5 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires

1.5.1 Principe des méthodes itératives

1.5.2 Trois méthodes classiques

1.5.3 Critère général de convergence, étude des suites d’itérées de matrices

1.5.4 Quelques cas particuliers de convergence

1.6 Méthodes numériques de calcul de valeurs propres et vecteurs propres

1.6.1 Motivation : modes propres

1.6.2 Difficultés

1.6.3 Conditionnement spectral

1.6.4 Méthode de la puissance

1.6.5 Généralisation de la méthode de la puissance : la méthode QR

2. Résolution approchée d’équations non linaires

2.1 Introduction

2.2 Dichotomie

2.3 Méthode de type point fixe

2.3.1 Théorème-énoncé général

2.3.2 Construction de méthodes pour f(x)=0

2.3.3 Vitesse de convergence

2.4 Méthode de Newton

2.4.1 Principe

2.4.2 Théorème de convergence

2.5 Méthode de la sécante

2.6 Ordre d’une méthode itérative

2.7 Systèmes d’équations non linéaires

2.7.1 Point fixe

2.7.2 Méthode de Newton dans Rn

2.7.3 Retour sur les systèmes linéaires et aux méthodes itératives

3. Interpolation et approximation (polynomiales)

3.1 Introduction

3.2 Interpolation polynomiale

3.2.1 Interpolation de Lagrange

3.2.2 Interpolation d’Hermite

3.3 Approximation polynomiale au sens des moindres carrés

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