Transformée de Laplace : Cours-Résumés-Exercices corrigés

Une des méthodes les plus efficaces pour résoudre certaines équations différentielles est d’utiliser la transformation de Laplace.

Une analogie est donnée par les logarithmes, qui transforment les produits en sommes, et donc simplifient les calculs.

La transformation de Laplace transforme des fonctions f(t) en d’autres fonctions F(s).

La transformée de Laplace est une transformation intégrale, c’est-à-dire une opération associant à une fonction ƒ une nouvelle fonction dite transformée de Laplace de ƒ notée traditionnellement F et définie et à valeurs complexes), via une intégrale.

la transformation de Laplace est souvent interprétée comme un passage du domaine temps, dans lequel les entrées et sorties sont des fonctions du temps, dans le domaine des fréquences, dans lequel les mêmes entrées et sorties sont des fonctions de la « fréquence ».

Plan du cours Transformée de Laplace

1 Introduction

2 Fonctions CL

3 Définition de la transformation de Laplace

4 Quelques exemples

5 Existence, unicité, et transformation inverse

6 Linéarité

7 Retard fréquentiel ou amortissement exponentiel

8 Calcul de la transformation inverse en utilisant les tables

9 Dérivation et résolution d’équations différentielles

10 Dérivation fréquentielle

11 Théorème du ”retard”

12 Fonctions périodiques

13 Distribution ou impulsion de Dirac

14 Dérivée généralisée des fonctions

15 Changement d’échelle réel, valeurs initiale et finale

16 Fonctions de transfert

16.1 Définition de la fonction de transfert

16.2 Blocks diagrammes

17 Produit de convolution

18 Annexe 1: Décomposition en éléments simples

19 Annexe 2 : Utilisation des théorèmes

19.1 Dérivation temporelle

19.2 Dérivation fréquentielle

19.3 Retard fréquentiel

19.4 Retard temporel

19.5 Produit de convolution

20 Annexe 3: Résolution d’équations différentielles avec des conditions initiales non nulles

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Analyse 1 : Cours, Résumés, Exercices et Examens corrigés

Plan du cours d’Analyse 1

1-Les réels

1.1 Un peu d’histoire

1.2 Introduction aux nombres réels

1.2.1 Quelques règles de calcul

1.3 Intervalles de R

1.4 Voisinage

1.5 Bornes supérieures, inférieures, maximum et minimum

1.6 Valeur absolue

1.7 Partie entière

2- Les fonctions d’une variable réelle

2.1 Notions de bases sur les fonctions

2.2 Quelques propriétés des fonctions

2.2.1 Les opérations algébriques

2.2.2 La restriction

2.2.3 Fonctions définies par morceaux

2.2.4 Fonctions majorées, minorées, bornées

2.3 La composition

2.3.1 Monotonie

2.3.2 Parité

2.3.3 Fonctions périodiques

2.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité

3- Limites d’une fonction

3.1 Limites finie d’une fonction en un point

3.2 Limites infinie d’une fonction en un point

3.3 Limites à droite, limite à gauche

3.4 Limites d’une fonction en +∞ ou -∞

3.5 Propriétés des limites

3.5.1 Unicité de la limite, majoration, minoration

3.5.2 Limites et comparaison

3.6 Opérations algébriques sur les limites

3.6.1 Limite d’une somme de fonctions

3.6.2 Limite d’un produit de fonctions

3.6.3 Limite d’un quotient de fonctions

3.7 Autres propriétés sur les limites

3.7.1 Limite et composée

3.7.2 Limite et monotonie

3.7.3 Critère de Cauchy

4- Quelques fonctions usuelles

4.1 Fonction constante

4.2 Fonction identité

4.3 Fonction valeur absolue

4.4 Fonction partie entière

4.5 Fonction puissances entières  

4.6 Fonction polynôme

4.7 Fonction racine n-ième, puissance rationnelle

4.8 Fonction homographique

4.9 Fonction logarithme népérien

4.10 Fonction exponentielle

4.11 Fonctions circulaires (ou trigonométriques)

4.11.1 Fonction sinus

4.11.2 Fonction cosinus

4.11.3 Fonction tangente

4.11.4 Fonction cotangente

4.12 Fonctions hyperboliques

4.12.1 Fonction cosinus hyperbolique

4.12.2 Fonction sinus hyperbolique

4.12.3 Fonction tangente hyperbolique

4.12.4 Fonction cotangente hyperbolique

4.13 Fonctions réciproques usuelles

4.13.1 Réciproque d’une fonction homographique

4.13.2 Réciproque de la fonction sinus : la fonction arc sinus

4.13.3 Réciproque de la fonction cosinus : la fonction arc cosinus

4.13.4 Réciproque de la fonction tangente : la fonction arc tangente

4.13.5 Propriétés des fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente

4.13.6 Equations du type sin(x) = a, cos(x) = a et tan(x) = a

4.13.7 Réciproque des fonctions sh et th

5- Continuité des fonctions

5.1 Caractérisation de Weierstrass

5.2 Continuité, opérations algébriques et composition

5.3 Théorèmes sur la continuité

5.4 Continuité, monotonie, injectivité et bijectivité

6- Dérivée d’une fonction

6.1 Définition de la dérivabilité de f

6.2 Dérivabilité et continuité

6.3 Dérivabilité, opérations algébriques et composition

6.4 Dérivée et monotonie

6.5 Dérivées et extrema

6.6 Théorèmes fondamentaux sur les dérivées

6.7 Dérivées des fonctions usuelles

6.8 Dérivées successives

6.8.1 Dérivée n^ième

6.8.2 Classes de fonction

6.8.3 Fonction de classe n

6.8.4 Fonction de classe infini

6.8.5 Dérivée n^ième  d’une somme de fonctions

6.8.6 Dérivée n^ième  d’un produit de fonctions

6.8.7 Dérivée n^ième de la composée de deux fonctions.

6.9 Fonctions convexes .

7- Les suites

7.1 Définition

7.2 Deux suites classiques

7.2.1 Suites arithmétiques

7.2.2 Suites géométrique

7.3 Récurrence d’ordre 2

7.4 Limite de suites

7.4.1 Introduction

7.4.2 Opération algébriques sur les limites

7.4.3 Résultats sur les limites de suites

7.5 Suites réelles et monotonie

7.6 Suites adjacentes

7.7 Suites extraites

7.8 Critère de Cauchy

7.9 Fonctions et suites

8- Equations différentielles

8.1 Equation simple

8.1.1 Equation x’ = 0

8.1.2 Equation x’ = ax(t)

8.2 Différents types d’équations

8.3 Equation linéaire

8.4 Solutions

8.5 Equations différentielles linéaire d’ordre 1

8.5.1 Définition

8.5.2 Primitives

8.5.3 EDO linéaire sans second membre

8.5.4 EDO linéaire avec second membre

8.5.5 Cas particulier

8.5.6 Existence et unicité

8.6 Equations différentielles linéaire d’ordre 2

8.6.1 Définition

8.6.2 Equations différentielle homogène à coefficients constants

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