Analyse 1 : Cours – Résumés-Exercices et Examens corrigés

Analyse 1 : Cours, Résumés, Exercices et Examens corrigés

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Plan du cours d’Analyse 1
1-Les réels

1.1 Un peu d’histoire

1.2 Introduction aux nombres réels

1.2.1 Quelques règles de calcul

1.3 Intervalles de R

1.4 Voisinage

1.5 Bornes supérieures, inférieures, maximum et minimum

1.6 Valeur absolue

1.7 Partie entière

2- Les fonctions d’une variable réelle

2.1 Notions de bases sur les fonctions

2.2 Quelques propriétés des fonctions

2.2.1 Les opérations algébriques

2.2.2 La restriction

2.2.3 Fonctions définies par morceaux

2.2.4 Fonctions majorées, minorées, bornées

2.3 La composition

2.3.1 Monotonie

2.3.2 Parité

2.3.3 Fonctions périodiques

2.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité

3- Limites d’une fonction

3.1 Limites finie d’une fonction en un point

3.2 Limites infinie d’une fonction en un point

3.3 Limites à droite, limite à gauche

3.4 Limites d’une fonction en +∞ ou -∞

3.5 Propriétés des limites

3.5.1 Unicité de la limite, majoration, minoration

3.5.2 Limites et comparaison

3.6 Opérations algébriques sur les limites

3.6.1 Limite d’une somme de fonctions

3.6.2 Limite d’un produit de fonctions

3.6.3 Limite d’un quotient de fonctions

3.7 Autres propriétés sur les limites

3.7.1 Limite et composée

3.7.2 Limite et monotonie

3.7.3 Critère de Cauchy

4- Quelques fonctions usuelles

4.1 Fonction constante

4.2 Fonction identité

4.3 Fonction valeur absolue

4.4 Fonction partie entière

4.5 Fonction puissances entières  

4.6 Fonction polynôme

4.7 Fonction racine n-ième, puissance rationnelle

4.8 Fonction homographique

4.9 Fonction logarithme népérien

4.10 Fonction exponentielle

4.11 Fonctions circulaires (ou trigonométriques)

4.11.1 Fonction sinus

4.11.2 Fonction cosinus

4.11.3 Fonction tangente

4.11.4 Fonction cotangente

4.12 Fonctions hyperboliques

4.12.1 Fonction cosinus hyperbolique

4.12.2 Fonction sinus hyperbolique

4.12.3 Fonction tangente hyperbolique

4.12.4 Fonction cotangente hyperbolique

4.13 Fonctions réciproques usuelles

4.13.1 Réciproque d’une fonction homographique

4.13.2 Réciproque de la fonction sinus : la fonction arc sinus

4.13.3 Réciproque de la fonction cosinus : la fonction arc cosinus

4.13.4 Réciproque de la fonction tangente : la fonction arc tangente

4.13.5 Propriétés des fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente

4.13.6 Equations du type sin(x) = a, cos(x) = a et tan(x) = a

4.13.7 Réciproque des fonctions sh et th

5- Continuité des fonctions

5.1 Caractérisation de Weierstrass

5.2 Continuité, opérations algébriques et composition

5.3 Théorèmes sur la continuité

5.4 Continuité, monotonie, injectivité et bijectivité

6- Dérivée d’une fonction

6.1 Définition de la dérivabilité de f

6.2 Dérivabilité et continuité

6.3 Dérivabilité, opérations algébriques et composition

6.4 Dérivée et monotonie

6.5 Dérivées et extrema

6.6 Théorèmes fondamentaux sur les dérivées

6.7 Dérivées des fonctions usuelles

6.8 Dérivées successives

6.8.1 Dérivée nième

6.8.2 Classes de fonction

6.8.3 Fonction de classe n

6.8.4 Fonction de classe infini

6.8.5 Dérivée nième  d’une somme de fonctions

6.8.6 Dérivée nième  d’un produit de fonctions

6.8.7 Dérivée nième de la composée de deux fonctions.

6.9 Fonctions convexes .

7- Les suites

7.1 Définition

7.2 Deux suites classiques

7.2.1 Suites arithmétiques

7.2.2 Suites géométrique

7.3 Récurrence d’ordre 2

7.4 Limite de suites

7.4.1 Introduction

7.4.2 Opération algébriques sur les limites

7.4.3 Résultats sur les limites de suites

7.5 Suites réelles et monotonie

7.6 Suites adjacentes

7.7 Suites extraites

7.8 Critère de Cauchy

7.9 Fonctions et suites

8- Equations différentielles

8.1 Equation simple

8.1.1 Equation x’ = 0

8.1.2 Equation x’ = ax(t)

8.2 Différents types d’équations

8.3 Equation linéaire

8.4 Solutions

8.5 Equations différentielles linéaire d’ordre 1

8.5.1 Définition

8.5.2 Primitives

8.5.3 EDO linéaire sans second membre

8.5.4 EDO linéaire avec second membre

8.5.5 Cas particulier

8.5.6 Existence et unicité

8.6 Equations différentielles linéaire d’ordre 2

8.6.1 Définition

8.6.2 Equations différentielle homogène à coefficients constants


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