Produit scalaire : Cours-Résumés-Exercices corrigés

I- Définitions

I-1- Définition initiale

On appelle produit scalaire de deux vecteurs \vec { u } et\quad \vec { v } , le nombre réel noté \vec { u } .\vec { v } tel que :

\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } ({ \left| \vec { u } +\vec { v } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { v } \right| }^{ 2 })

Exemple :

Calculer le produit scalaire \vec { AB } .\vec { AD } pour la figure suivante :

Comme ABCD est un parallélogramme, on a \vec { AB } +\vec { AD } =\vec { AC } donc :

\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 1 }{ 2 } ({ \vec { AC } }^{ 2 }-{ \vec { AB } }^{ 2 }-{ \vec { AD } }^{ 2 })

\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 1 }{ 2 } ({ AC }^{ 2 }-{ AB }^{ 2 }-{ AD }^{ 2 })

\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 1 }{ 2 } (36-16-9)

\vec { AB } .\vec { AD } =\frac { 11 }{ 2 }

I-2- Définition dans un repère orthonormal

Dans un repère orthonormal (O,\vec { i } ,\vec { j } ) le produit scalaire de deux vecteurs   \vec { u } et\vec { v }  de coordonnées respectives (x;y)\quad et\quad (x\prime ;y\prime ) est égal à :

\vec { u } .\vec { v } =\quad xx\prime +yy\prime

On peut aussi utiliser la notation matricielle :

(\begin{matrix} x \ y \end{matrix}).(\begin{matrix} x\prime \ y\prime \end{matrix})=\quad xx\prime +yy\prime

Démonstration

Montrons que cette définition est équivalente à la définition initiale

On rappelle que si un vecteur \vec { u } a pour coordonnées (x; y) alors :

{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }={ \quad x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 }

On a alors :

\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } ({ \left| \vec { u } +\vec { v } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { u } \right| }^{ 2 }-{ \left| \vec { v } \right| }^{ 2 })

\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } \left[ { (x+x\prime ) }^{ 2 }+{ (y+y\prime ) }^{ 2 }-({ x }^{ 2 }+{ y }^{ 2 })-({ x\prime }^{ 2 }+{ y\prime }^{ 2 }) \right]

\vec { u } .\vec { v } =\frac { 1 }{ 2 } \left[ 2xx\prime +2yy\prime \right]

\vec { u } .\vec { v } =\quad xx\prime +yy\prime

Exemple :

Déterminer le produit scalaire :

\vec { AB } .\vec { AC }

\vec { AB } .\vec { AC } =\begin{pmatrix} 3 & -2 \ 0 & -2 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} -1 & -2 \ 1 & -2 \end{pmatrix}

\vec { AB } .\vec { AC } =\left( \begin{matrix} 1 \ -2 \end{matrix} \right) .\left( \begin{matrix} -3 \ -1 \end{matrix} \right)

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad 1\times (-3)+(-2)\times (-1)

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad -1

I-3- Définition projective

Le produit scalaire de deux vecteurs \vec { u } et\vec { v } est défini par :

\vec { u } .\vec { v } =\quad \left| \vec { u } \right| \times \left| \vec { v } \right| \times \cos { (\vec { u } ,\vec { v } ) }

Exemple

Déterminer le produit scalaire :

\vec { AB } .\vec { AC }

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad \left| \vec { AB } \right| \times \left| \vec { AC } \right| \times \cos { ({ 60 }^{ \circ }) }

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad AB\times AC\times \cos { ({ 60 }^{ \circ }) }

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad 3\times 2\times \frac { 1 }{ 2 }

\vec { AB } .\vec { AC } =\quad 3

II- Propriétés

Propriété 1

1- Le produit scalaire est commutatif : \vec { u } .\vec { v } =\quad \vec { v } .\vec { u }

2- Le produit scalaire est distributif par rapport à l’addition de deux vecteurs :\vec { u } .(\vec { v } +\vec { w } )=\quad \vec { u } .\vec { v } +\vec { u } .\vec { w }

3- Le produit scalaire est distributif par rapport à la multiplication par un
scalaire : (a\vec { u } )+(b\vec { v } )=\quad ab\times (\vec { u } .\vec { v } )

4- Si les vecteurs \vec { u } et\vec { v } sont colinéaires et de même sens alors : \vec { u } .\vec { v } =\left| \vec { u } \right| \times \left| \vec { v } \right|

5- Si les vecteurs \vec { u } et\vec { v } sont colinéaires et de sens contraires alors :\vec { u } .\vec { v } =-\left| \vec { u } \right| \times \left| \vec { v } \right|

6 Si les vecteurs \vec { u } et\vec { v } sont perpendiculaires alors : \vec { u } .\vec { v } =\quad 0

III- Projection

Soit deux vecteurs \vec { AB } et\vec { CD } . On appelle K et H les projections orthogonales respectives de C et D sur la droite AB, on a alors :

\vec { AB } .\vec { CD\quad = } \quad AB\quad \times \quad KH

si \vec { AB } et\vec { KH } sont de même sens

\vec { AB } .\vec { CD\quad = } \quad -AB\quad \times \quad KH

si \vec { AB } et\vec { KH } sont de sens contraires

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