Gaz parfait – Cours et exercices corrigés
Un gaz parfait est un fluide idéal qui satisfait à l’équation d’état p.v=n.RT, ou encore c’est un gaz qui obéit rigoureusement aux trois lois. MARIOTTE, GAY .LUSSAC et CHARLES.
On désigne par ‘v’ le volume d’une unité de masse, de gaz parfait et par ‘Vm’ le volume molaire d’un gaz parfait avec :
1 mole =6,023.1023 Molécules = A (nombre d’Avogadro).
On considère une masse gazeuse occupant le volume V sous la pression P et la température T.
A température constante, le produit de la pression d’une masse gazeuse par son volume est constant (cette loi est d’origine expérimentale)
Sous faibles pressions, tous les gaz se comportent de la même manière quelque soit leur nature.
Par définition, un gaz parfait sera un gaz pour lequel,
P.V = Cte loi de MARIOTTE.
Pour un gaz parfait, le produit P.V ne dépend que de la température P.V = f(T). La relation précédente à température constante peut s’écrit P = Cte/ V , ce qui conduit à un second énoncé de la loi de MARIOTTE
A température constante, la pression d’une masse gazeuse est inversement proportionnelle au volume qu’elle occupe.
Si on considère deux états différents d’une même masse gazeuse à la même température avec :
P1V1 = P2V2
A pression constante, l’augmentation de volume d’un gaz parfait (dilatation ou détente) est proportionnelle à la température absolue.
V/T = Cte Ou V=Cte.T loi de GAY-LUSSAC.
Si on considère deux états différents d’une même masse gazeuse à la même pression avec :
On a la relation :
\frac{V_{1}}{T_{1}+273}=\frac{V_{2}}{T_{2}+273} \quad \Rightarrow \quad\frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{T_{2}}
Soit une masse gazeuse chauffée à pression constante,
D’après GAY-LUSSAC on à :
\frac{V}{t+273}=\frac{V_{0}}{273} \quad \Rightarrow \quad V=V_{0}\frac{t+273}{273}=V_{0}\left ( 1+\frac{t}{273} \right )
D’où V =V0(1+αt) avec α=1/273 coefficient de dilatation du gaz.
A volume constant, l’augmentation de pression d’un gaz parfait est proportionnelle à l’élévation de la température. On a :
P/T = Cte
Si on considère deux états différents d’une même masse gazeuse dans lesquelles elle occupe le même volume. La pression et la température sont :
On a la relation
Soit P0 et P les pressions à 0°c et t°c d’une même masse gazeuse dont le volume est invariant (constant) on a :
\frac{P}{t+273}=\frac{P_{0}}{273} \quad \Rightarrow \quad P=P_{0}\left ( 1+\frac{t}{273} \right )
Où P = P0(1+ βt) avec β=1/273 Coefficient d’augmentation de pression.
On recherche l’équation qui lie les paramètres d’état (p, v,T). On considère une (U.D.M) d’un gaz parfait dans deux états différents :
Imaginons un 3ème état où la pression est P, la température est T’. Etat (3) : (P, V’’, T’).
On passe à pression constante de l’état (1) à l’état (3), on a donc en vertu de la loi de GAY-LUSSAC.
\frac{V}{T}=\frac{V^{''}}{T^{'}} \quad(1)
On passe de l’état (3) à l’état (2), la température étant constante, on a donc en vertu de la loi de MARIOTTE :
P′′.V ′′ = P′.V ′ (2)
En multipliant membre à membre les deux équations (1) et (2) on obtient :
\frac{P.V.V^{''}}{T}=\frac{P^{'}.V^{'}.V^{''}}{T^{'}} \Rightarrow \frac{P.V}{T}=\frac{P^{'}.V^{'}}{T^{'}} = Cte
Pour un gaz parfait on à
\frac{P.V}{T} = Cte
Pour l’unité de masse (UDM) cette constante est appelée (r), l’équation d’état devient :
P.v = rT
Ici, v : est le volume massique tel que v = 1/ ρ et r : dépend du gaz considéré.
Pour une masse m de gaz parfait, occupant le volume V sous la pression P et à température T, l’équation d’état devient :
PV = mrT
Pour l’air, qui est considéré comme un gaz parfait, r vaut : 287 J/kg°K.
Si on considère une masse molaire M de gaz parfait, elle occupe le volume V, on peut écrire :
P.V = MrT = RT
Avec : R=M.r tel que R : constante universelle des gaz parfait indépendante du gaz considéré. Donc pour 1Mole de gaz parfait, l’équation d’état devient :
P.v = RT
Ici, v : représente le volume molaire = 22,4 L
Pour n moles de gaz parfait occupant un volume V, sous la pression P et la température T, l’équation d’état devient :
P.V = nRT
Avec R=8.32J/Mole °K pour tous les gaz
On considère un mélange de gaz chimiquement inerte (mélange qui ne donne pas lieu à une réaction chimique).
Soit V, le volume occupé par le mélange. Chaque gaz occupe le volume V comme s’il été seul sous une pression Pi appelée pression partielle.
La pression du mélange est égale à la somme des pressions partielles des gaz composants.
P=\sum_{1}^{n}P_{i}
Mélange de 2 gaz (1) et (2)
(P1+P2).V = (n1+n2).RT ou P.V = n.R.T tels que n : nombre de moles du mélange et P la pression du mélange.
De plus, les gaz étant chimiquement inertes, l’énergie interne du mélange est égale à la somme des énergies des 2 gaz et ne dépend donc, que de la température de n gaz.
Un mélange de gaz parfaits chimiquement inertes est un gaz parfait.
On donne R = 8,31 SI.
1) Quelle est l’équation d’état de n moles d’un gaz parfait dans l’état P, V, T ? En déduire l’unité de R.
2) Calculer numériquement la valeur du volume molaire d’un gaz parfait à une pression de 1 bar et une température de 0°C. On donne 1 bar = 105 Pa.
1 – L’équation d’état d’un gaz parfait est : PV = nRT. On en déduit que R=PV/nT et que par suite, R est en J.mol-1.K-1.
2 – D’après la formule précédente :
V=\frac{R.T}{P} = \frac{8,31\times 273}{101300}
Donc V = 22,4.10−3 m3.mol−1 = 22,4 L.mol−1
On note v le volume massique en m3.kg-1 d’un gaz parfait de masse molaire M.
1) Montrer que l’équation d’état de ce gaz peut s’écrire Pv = rT. Préciser l’expression de r et son unité.
2) On donne : M(O) = 16 g.mol-1 ; R = 8,31 SI ; 1 bar = 105 Pa.
Calculer la valeur de r pour le dioxygène.
3) En déduire le volume massique du dioxygène à 300 K et 1 bar.
1 – L’équation d’état du gaz est : Pv = nRT, n désignant le nombre de moles de gaz contenu dans une masse m = 1 kg.
Nous avons donc :
Pv=\frac{R}{M}T=rT
D’où :
r=R/M ==> Unité de r: J.kg –1.K –1
2 – Calcule de la valeur de r pour le dioxygène.
r=\frac{R}{M}=\frac{8,31}{32\times 10^{-3}}=260J.Kg^{-1}.K^{-1}
3 – Volume massique du dioxygène à 300 K et 1 bar.
D’après Pv = rT, on tire :
v = 0,772 m3.kg −1
Pour plus de détails télécharger les documents ci-dessous:
Cours sur la N°1 – Gaz parfait
Cours sur la N°2 – Gaz parfait
Cours sur la N°3 – Gaz parfait
Cours sur la N°4 – Gaz parfait
Exercices corrigés N°1 – Gaz parfait
Exercices corrigés N°2- Gaz parfait
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