Analyse numérique et algorithme cours, Résumés, exercices et examens corrigés

L’analyse numérique a commencé bien avant la conception des ordinateurs et leur utilisation quotidienne que nous connaissons aujourd’hui.

Les premières méthodes ont été développées pour essayer de trouver des moyens rapides et efficaces de s’attaquer à des problèmes soit fastidieux à résoudre à cause de leur grande dimension (systèmes à plusieurs dizaines d’équations par exemple), soit parce qu’il n’existe pas solutions explicites connues même pour certaines équations assez simples en apparence.

Dès que les premiers ordinateurs sont apparus, ce domaine des mathématiques a pris son évolution et continue encore à se développer de façon très soutenue.

Les applications extraordinairement nombreuses sont entrées dans notre vie quotidienne directement ou indirectement. Nous les utilisons désormais sans nous en rendre compte mais surtout en ignorant la plupart du temps toute la théorie, l’expertise, le développement des compétences et l’ingéniosité des chercheurs pour en arriver là. Nous pouvons téléphoner, communiquer par satellite, faire des recherches sur internet, regarder des films où plus rien n’est réel sur l’écran, améliorer la sécurité des voitures, des trains, des avions, connaître le temps qu’il fera une semaine à l’avance,…et ce n’est qu’une infime partie de ce que l’on peut faire.

Plan du cours N°1 d’Analyse numérique et algorithme

Analyse Numérique

• Calculs numériques approchés
• Zéros de fonctions non-linéaires
• Approximation et Interpolation Polynomiale
• Intégration numérique
• Equations différentielles
• Systèmes linéaires

2. Algorithmique

• Introduction et initiation à l’algorithmique
• Terminologie – Définitions
• Notions Complémentaires et avancées

Plan du cours N°2 d’ Analyse numérique et algorithme

1. Les systèmes linéaires

1.1 Introduction

1.1.1 Gestion des erreurs

1.1.2 Exemple de problème menant à la résolution d’un système linéaire

1.2 Quelques rappels sur les matrices

1.2.1 Notations

1.2.2 Lien avec les applications linéaires

1.2.3 Opérations

1.2.4 Trace et déterminant

1.2.5 Matrice et produit scalaire

1.2.6 Valeurs propres, vecteurs propres et réduction de matrices

1.3 Normes vectorielles et matricielles

1.3.1 Rappels sur les normes vectorielles

1.3.2 Boules

1.3.3 Normes matricielles

1.3.4 Conditionnement

1.4 Méthodes directes de résolution de systèmes linéaires

1.4.1 Principe des méthodes directes

1.4.2 Pivot de Gauss – Décomposition LU

1.4.3 Cas des matrices symétriques définies positives : la factorisation de Cholesky

1.4.4 Factorisation QR

1.5 Méthodes itératives de résolution de systèmes linéaires

1.5.1 Principe des méthodes itératives

1.5.2 Trois méthodes classiques

1.5.3 Critère général de convergence, étude des suites d’itérées de matrices

1.5.4 Quelques cas particuliers de convergence

1.6 Méthodes numériques de calcul de valeurs propres et vecteurs propres

1.6.1 Motivation : modes propres

1.6.2 Difficultés

1.6.3 Conditionnement spectral

1.6.4 Méthode de la puissance

1.6.5 Généralisation de la méthode de la puissance : la méthode QR

2. Résolution approchée d’équations non linaires

2.1 Introduction

2.2 Dichotomie

2.3 Méthode de type point fixe

2.3.1 Théorème-énoncé général

2.3.2 Construction de méthodes pour f(x)=0

2.3.3 Vitesse de convergence

2.4 Méthode de Newton

2.4.1 Principe

2.4.2 Théorème de convergence

2.5 Méthode de la sécante

2.6 Ordre d’une méthode itérative

2.7 Systèmes d’équations non linéaires

2.7.1 Point fixe

2.7.2 Méthode de Newton dans Rn

2.7.3 Retour sur les systèmes linéaires et aux méthodes itératives

3. Interpolation et approximation (polynomiales)

3.1 Introduction

3.2 Interpolation polynomiale

3.2.1 Interpolation de Lagrange

3.2.2 Interpolation d’Hermite

3.3 Approximation polynomiale au sens des moindres carrés

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Analyse 1 : Cours, Résumés, Exercices et Examens corrigés

Plan du cours d’Analyse 1

1-Les réels

1.1 Un peu d’histoire

1.2 Introduction aux nombres réels

1.2.1 Quelques règles de calcul

1.3 Intervalles de R

1.4 Voisinage

1.5 Bornes supérieures, inférieures, maximum et minimum

1.6 Valeur absolue

1.7 Partie entière

2- Les fonctions d’une variable réelle

2.1 Notions de bases sur les fonctions

2.2 Quelques propriétés des fonctions

2.2.1 Les opérations algébriques

2.2.2 La restriction

2.2.3 Fonctions définies par morceaux

2.2.4 Fonctions majorées, minorées, bornées

2.3 La composition

2.3.1 Monotonie

2.3.2 Parité

2.3.3 Fonctions périodiques

2.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité

3- Limites d’une fonction

3.1 Limites finie d’une fonction en un point

3.2 Limites infinie d’une fonction en un point

3.3 Limites à droite, limite à gauche

3.4 Limites d’une fonction en +∞ ou -∞

3.5 Propriétés des limites

3.5.1 Unicité de la limite, majoration, minoration

3.5.2 Limites et comparaison

3.6 Opérations algébriques sur les limites

3.6.1 Limite d’une somme de fonctions

3.6.2 Limite d’un produit de fonctions

3.6.3 Limite d’un quotient de fonctions

3.7 Autres propriétés sur les limites

3.7.1 Limite et composée

3.7.2 Limite et monotonie

3.7.3 Critère de Cauchy

4- Quelques fonctions usuelles

4.1 Fonction constante

4.2 Fonction identité

4.3 Fonction valeur absolue

4.4 Fonction partie entière

4.5 Fonction puissances entières  

4.6 Fonction polynôme

4.7 Fonction racine n-ième, puissance rationnelle

4.8 Fonction homographique

4.9 Fonction logarithme népérien

4.10 Fonction exponentielle

4.11 Fonctions circulaires (ou trigonométriques)

4.11.1 Fonction sinus

4.11.2 Fonction cosinus

4.11.3 Fonction tangente

4.11.4 Fonction cotangente

4.12 Fonctions hyperboliques

4.12.1 Fonction cosinus hyperbolique

4.12.2 Fonction sinus hyperbolique

4.12.3 Fonction tangente hyperbolique

4.12.4 Fonction cotangente hyperbolique

4.13 Fonctions réciproques usuelles

4.13.1 Réciproque d’une fonction homographique

4.13.2 Réciproque de la fonction sinus : la fonction arc sinus

4.13.3 Réciproque de la fonction cosinus : la fonction arc cosinus

4.13.4 Réciproque de la fonction tangente : la fonction arc tangente

4.13.5 Propriétés des fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente

4.13.6 Equations du type sin(x) = a, cos(x) = a et tan(x) = a

4.13.7 Réciproque des fonctions sh et th

5- Continuité des fonctions

5.1 Caractérisation de Weierstrass

5.2 Continuité, opérations algébriques et composition

5.3 Théorèmes sur la continuité

5.4 Continuité, monotonie, injectivité et bijectivité

6- Dérivée d’une fonction

6.1 Définition de la dérivabilité de f

6.2 Dérivabilité et continuité

6.3 Dérivabilité, opérations algébriques et composition

6.4 Dérivée et monotonie

6.5 Dérivées et extrema

6.6 Théorèmes fondamentaux sur les dérivées

6.7 Dérivées des fonctions usuelles

6.8 Dérivées successives

6.8.1 Dérivée n^ième

6.8.2 Classes de fonction

6.8.3 Fonction de classe n

6.8.4 Fonction de classe infini

6.8.5 Dérivée n^ième  d’une somme de fonctions

6.8.6 Dérivée n^ième  d’un produit de fonctions

6.8.7 Dérivée n^ième de la composée de deux fonctions.

6.9 Fonctions convexes .

7- Les suites

7.1 Définition

7.2 Deux suites classiques

7.2.1 Suites arithmétiques

7.2.2 Suites géométrique

7.3 Récurrence d’ordre 2

7.4 Limite de suites

7.4.1 Introduction

7.4.2 Opération algébriques sur les limites

7.4.3 Résultats sur les limites de suites

7.5 Suites réelles et monotonie

7.6 Suites adjacentes

7.7 Suites extraites

7.8 Critère de Cauchy

7.9 Fonctions et suites

8- Equations différentielles

8.1 Equation simple

8.1.1 Equation x’ = 0

8.1.2 Equation x’ = ax(t)

8.2 Différents types d’équations

8.3 Equation linéaire

8.4 Solutions

8.5 Equations différentielles linéaire d’ordre 1

8.5.1 Définition

8.5.2 Primitives

8.5.3 EDO linéaire sans second membre

8.5.4 EDO linéaire avec second membre

8.5.5 Cas particulier

8.5.6 Existence et unicité

8.6 Equations différentielles linéaire d’ordre 2

8.6.1 Définition

8.6.2 Equations différentielle homogène à coefficients constants

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