Théorème de THALES – Cours et Exercices corrigés

Théorème de THALES – Cours et Exercices corrigés

I- Théorème de THALES

I-1 Enoncé du Théorème de Thalès :

Soit ABC un triangle non aplati
Soit M un point de la demi-droite [AB), distinct de A.
Soit N un point de la demi-droite [AC), distinct de A.
Si la droite (MN) est parallèle à la droite (BC) alors

\frac { AM }{ AB } =\frac { AN }{ AC } =\frac { MN }{ BC }

I-2 Exemples :

a- Exemple 1

AM = 30; AB = 80; AC = 20. Les droites (MN) et (BC) sont parallèles. Calculer AN.

Réponse :

Les droites (MN) et (BC) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles AMN et ABC :

\frac { AM }{ AB } =\frac { AN }{ AC } =\frac { MN }{ BC }

Soit \quad \frac { 30 }{ 80 } =\frac { AN }{ 20 } =\frac { MN }{ BC }

Donc \quad AN \times 80 = 30 \times 20

Soit \quad AN = \frac { 30 \times 20 }{ 80 } =\frac { 30 }{ 4 } = 7.5

b- Exemple 2

(UV) // (JK). IJ = 30 ; IK = 20 ; IU = 10 ; UV = 10. Calculer IV et JK.

Réponse :

Les droites (UV) et (JK) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles IUV et IJK :

\frac { IJ }{ IV } =\frac { IK }{ IU } =\frac { JK }{ UV }

Soit \quad \frac { 30 }{ IV } =\frac { 20 }{ 10 } =\frac { JK }{ 10 }

Donc \quad IV= \frac { 10 }{ 20 } \times30=15 \quad et \quad JK= \frac { 20 }{ 10 } \times10=20

II- Réciproque du Théorème de Thalès

II-1 Enoncé de la réciproque du Théorème de THALES

Si ABC et AMN sont deux triangles tels que

A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre

et \quad \frac { AM }{ AB } =\frac { AN }{ AC }

Alors, les droites (MN) et (BC) sont parallèles

II-1 Exemples

a- Exemple 1

AC = 11 ; AE = 22 ;
CB = 15 ; CF = 30.
Les droites (AB) et (EF) sont-elles parallèles ?

Réponse :

D'une part \quad \frac { CA }{ CE } =\frac { 11 }{ 33 } =\frac { 1 }{ 3 }

et \quad d'autre\quad part \quad\quad \frac { CB }{ CF } =\frac { 15 }{ 45 } =\frac { 1 }{ 3 }

Donc \quad \frac { CA }{ CE } = \frac { CB }{ CF }

CAB et CEF sont deux triangles tels que C, A, E et C, B, F sont alignés dans cet ordre et CA/CE=CB/CF, donc selon la réciproque du théorème de Thalès les droites (AB) et (EF) sont parallèles.

b- Exemple 2 :

Démontre que les droites (MN) et (ST) sont parallèles.
On donne OM = 2,8 cm ; ON = 5,4 cm ; OS = 2,7 cm et OT = 1,4 cm.

Réponse :

\frac { OT }{ OM } =\frac { 1.4 }{ 2.8 } =\frac { 1 }{ 2 } \quad et \quad \frac { OS }{ ON } =\frac { 2.7 }{ 5.4 } =\frac { 1 }{ 2 }

OST et ONM sont deux triangles tels que S, O, N et T, O, M sont alignés dans cet ordre et OT/OM = OS/ON, donc selon la réciproque du théorème de Thalès les droites (MN) et (ST) sont parallèles.

III- Conséquence du théorème de Thalès : montrer que deux droites ne sont pas parallèles

Si ABC et AMN sont deux triangles tels que :

A, M, B et A, N, C sont alignés dans cet ordre

et \quad \frac { AM }{ AB } \neq \frac { AN }{ AC }

alors, les droites (MN) et (BC) ne sont pas parallèles

Exemple :

On donne AB = 2,5 cm ; BC = 3,3 cm ; AC = 2,4 ; CD = 6 cm et CE = 9 cm. Les droites (ED) et (AB) sont-elles parallèles? Justifie la réponse.

Réponse :

\frac { CA }{ CD } =\frac { 2.4 }{ 6 } =\frac { 2 }{ 5 } \quad et \quad \frac { CB }{ CE } =\frac { 3.3 }{ 9 } =\frac { 11 }{ 30 }

Or\quad \frac { 2 }{ 5 } =\frac { 12 }{ 30 } \neq\frac { 11 }{ 30 } \quad donc \quad \frac { CA }{ CD } \neq\frac { CB }{ CE }

CAB et CDE sont deux triangles tels que A, C, D et B, C, E sont alignés dans cet ordre et CA/CD # CB/CE, donc selon la conséquence du théorème de Thalès les droites (ED) et (AB) ne sont pas parallèles.

Remarque : la conséquence du théorème de Thalès se nomme aussi la contraposée du théorème de Thalès.

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