Cercle trigonométrique – Cours et exercices corrigés
Un cercle trigonométrique est un cercle C de rayon 1 qui est orienté, ce qui veut dire qu’on a choisi un sens positif (celui des ronds-points) et un sens négatif (celui des aiguilles d’une montre) :
Soit C un cercle trigonométrique de centre O et I, J deux points de C tel que (O,OI,OJ) est un R.O.N. du plan. Alors les axes OI et OJ subdivisent le cercle en quatre quadrants notés : (I), (II), (III) et (IV) :
Soit (T) la tangente à C en I munie du repère (I,OJ ), x ∈ℝ et X(x)∈(T) :
En « enroulant » (T) autour de C à partir du point fixe commun I (vers « le haut » dans le sens positif, vers « le bas » dans le sens négatif), on voit qu’à tout réel x on peut associer un point unique M ∈C . Nous noterons f (x)=M cette correspondance.
De manière générale :
\forall x\in \mathbb{R}, \forall k\in \mathbb{Z}, f(x+k.2\pi)=f(x)
En effet, ajouter k.2π à x revient à faire k tours complets à partir de f (x) = M dans un sens ou dans l’autre (selon le signe de k) pour retomber sur le même point M que x !
Ainsi l’ensemble des nombres x+k .2π (où k ∈ℤ ) caractérise le point M et donc également l’angle IOM . De plus si x ∈[0,2π] alors x est égal à la longueur de l’arc IM donc tout nombre de la forme x+k .2π est une mesure de la longueur de l’arc IM à un multiple entier de 2π près ! Ceci nous amène à poser la définition suivante :
Les nombres x+k .2π (où k ∈ℤ ) sont les mesures en radians (rd) de l’angle IOM et aussi de l’arc IM . Ainsi :
mes\widehat{IOM}=mes\widehat{IM}= x+2kπ
mes\widehat{IOJ}=\frac{π}{2}+k.2π (k\in \mathbb{Z})
mes\widehat{IOK}=\pi +k.2\pi (k\in \mathbb{Z})
mes\widehat{IOL}=\frac{3\pi}{2}+k.2\pi (k\in \mathbb{Z})
Les transformations se font par une règle de trois :
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Cours sur le Cercle trigonométrique N°1
Cours sur le Cercle trigonométrique N°2
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Exercices corrigés sur le Cercle trigonométrique N°1
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