Fonction exponentielle : Cours, résumé et exercices corrigés

I- Théorème 1

Démonstration.

Soit f une fonction dérivable sur R telle que f′ = f et f(0) = 1.

Soit g la fonction définie sur R par : pour tout réel x, g(x) = f(x) × f(−x).

La fonction g est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x,

g′(x) = f′(x) × f(−x) + f(x) × (−1) × f′(−x) = f′(x)f(−x) − f(x)f′(−x)

= f(x)f(−x) − f(x)f(−x) (car f′ = f)

= 0.

Ainsi, la dérivée de la fonction g est nulle. On sait alors que la fonction g est une fonction constante sur R.

Par suite, pour tout réel x, g(x) = g(0) = (f(0))² = 1.

On a montré que pour tout réel x, f(x)×f(−x) = 1. En particulier, pour tout réel x, f(x)×f(−x) ≠ 0 puis f(x) ≠ 0.

Ainsi, une fonction f telle que f′ = f et f(0) = 1 ne s’annule pas sur R.

II- Théorème 2

Démonstration

Soient f et g deux fonctions dérivables sur R telles que f′ = f, g′ = g, f(0) = 1 et g(0) = 1.

D’après le théorème 1, la fonction g ne s’annule pas sur R. On peut donc poser h = f / g.

La fonction h est dérivable sur R en tant que quotient de fonctions dérivables sur R dont le dénominateur ne s’annule pas sur R et pour tout réel x,

h^{'}(x)=\frac{f^{'}(x)g(x)-f(x)g^{'}(x)}{(g(x))^{2}}=\frac{f(x)g(x)-f(x)g(x)}{(g(x))^{2}}=0

La dérivée de h est nulle sur R. La fonction h est donc constante sur R.

Par suite, pour tout réel x,

h(x)=h(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{1}{1}=1

Ainsi, pour tout réel x, f(x)/g(x) = 1 ou encore, pour tout réel x, f(x) = g(x). On a montré que f = g ou encore on a montré l’unicité d’une fonction f vérifiant la relation f′ = f et f(0) = 1

III- Définition

IV- Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

1- Relation fonctionnelle

2- Le nombre e. Changement de notation

e = exp(1) = 2, 718 . . ..

3- Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Pour tous réels x et y,

a- Propriétés algébriques N°1

exp(-x)=\frac{1}{exp(x)}

Démonstration :

exp(x)\times exp(-x)=exp(x-x)=1 \: donc exp(-x)=\frac{1}{exp(x)}

exp(x-y)=\frac{exp(x)}{exp(y)}

Démonstration :

exp(x-y)=exp(x+(-y))=exp(x)\times exp(-y)=\frac{exp(x)}{exp(y)}

exp(x)^{y}=exp(xy)

Démonstration :

Si b est un nombre positif

exp(x)^{y}=exp(x)\times exp(x)\times exp(x)\times exp(x)\times....\times exp(x) = exp(x+x+x+....+x)= exp(xy)

exp(xy)=exp(x(-(-y))) \: or \:exp(x(-y))=exp(-xy)

exp(xy)=exp(-(-xy))=exp(xy)

exp(\frac{1}{n})^{n}=e

Démonstration :

exp(\frac{1}{n})^{n}=exp(\frac{1}{n}\times n)=exp(1)=e

V- Propriétés analytiques de la fonction exponentielle

1- Sens de variation de la fonction exponentielle

• La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
• La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
• Pour tous réels x et y, exp(x) < exp(y)  ⇔ x < y.
• Pour tous réels x et y, exp(x) = exp(y)  ⇔ x = y.
• Pour tout réel x, exp(x)  > 1 ⇔ x > 0, exp(x)  = 1 ⇔ x = 0, exp(x)  < 1 ⇔ x < 0.

Exercice:

1. Résoudre dans R l’équation exp(−5x+1) = 1.
2. Résoudre dans R l’équation exp(2x) = 0.
3. Résoudre dans R l’équation exp(x2) = exp(4).

Solution

1) Soit x un réel

exp(-5x+1)=1\Leftrightarrow -5x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}

L’ensemble des solutions de l’équation exp(−5x+1) = 1 est : 1/5

2) La fonction exponentielle est strictement positive sur R. Donc l’équation exp(2x) = 0 n’a pas de solution

3) Soit x un réel

exp(x^{2})=exp(4)\Leftrightarrow x^{2}=4\Leftrightarrow x=-2 \:ou \: x=-2

L’ensemble des solutions de l’équation exp(x2) = exp(4 est : {-2;2}

2- Limites de la fonction exponentielle en −∞ et +∞

 \lim_{x\rightarrow +\infty }exp(x)=+\infty

 \lim_{x\rightarrow -\infty }exp(x)=0

\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{exp(x))}{x}=+\infty

\lim_{x\rightarrow -\infty }x.exp(x)=0

Exercice

Calculer les limites suivantes:

 1- \: \lim_{x\rightarrow +\infty }(exp(x)+x+1))

  2- \: \lim_{x\rightarrow -\infty }(exp(x)+x+1))

 1- \:\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}exp(-2x+3)

Solution

1- On a :

\lim_{x\rightarrow +\infty }exp(x)=+\infty

Et d’autre part :

\lim_{x\rightarrow +\infty }x+1=+\infty

En additionnant les deux fonctions, on obtient:

\lim_{x\rightarrow +\infty }(exp(x)+x+1))=+\infty

2- On a :

\lim_{x\rightarrow -\infty }exp(x)=0

Et d’autre part :

\lim_{x\rightarrow -\infty }x+1=-\infty

En additionnant les deux fonctions, on obtient:

\lim_{x\rightarrow -\infty }(exp(x)+x+1))=-\infty

3- On a

\lim_{x\rightarrow -\infty } (-2x+3)=+\infty

\lim_{x\rightarrow -\infty } exp(-2x+3)=\lim_{x\rightarrow +\infty } exp(X)=+\infty

Et d’autre part :

\lim_{x\rightarrow -\infty }x^2=+\infty

En multipliant les deux fonctions, on obtient

\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}exp(-2x+3)=+\infty

3- Graphe de la fonction exponentielle

On connaît déjà le sens de variation de la fonction exponentielle ainsi que les limites de cette fonction en −∞ et +∞. On peut résumer ces différents résultats dans un tableau de variations suivant:

Représentation graphique de la fonction_exponentielle:

4- Dérivée de la fonction exponentielle x ↦ exp(u(x))

Exercice:

Soit f la fonction définie sur R par : Pour tout réel x, f(x) = xexp(−x²).

Déterminer la dérivée de f.

Solution :

Pour tout réel x, posons u(x) = −x² puis g(x) = exp(−x²) = exp(u(x)). La fonction u est dérivable sur R. Donc, la fonction g est dérivable sur R et pour tout réel x,

g′(x) = u′(x)exp(u(x)) = −2xexp(−x²).

On en déduit que f est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x,

f′(x) = 1 × exp(−x²) + x × (−2xexp(−x²)) = exp(−x²) − 2x²exp(−x²) = (1 − 2x²)exp(−x²)

5- Primitives de la fonction exponentielle

1- Les primitives sur R de la fonction x ↦ exp(x) sont les fonctions de la forme x ↦ exp(x) + k où k est un réel.

2- Plus généralement, soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Les primitives sur R de la fonction x ↦ u′(x)eu(x) sont les fonctions de la forme x ↦ eu(x) + k où k est un réel.

En particulier, si a est un réel non nul et b est un réel, les primitives sur R de la fonction x ↦ exp(ax+b) sont les fonctions de la forme x ↦ 1/a exp(ax+b) + k où k est un réel.

VI- conclusion

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Dérivées : Cours-Résumés-Exercices corrigés

I- Dérivabilité en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R à valeurs dans R (respectivement C). Soit x0 un réel élément de l’intervalle I.
La fonction f est dérivable en x0 si et seulement si le rapport \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 } a une limite réelle (respectivement complexe) quand x tend vers x0.

Quand f est dérivable en x0, le nombre \lim _{ x\rightarrow x0 }{ \frac { f(x)-f(x0 }{ x-x0 } } s’appelle le nombre dérivé de f en x0 et se note f′(x0).

Ainsi f^{ \prime }\left( x \right) =\lim _{ x\rightarrow x0 }{ \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 } }

La fonction x\rightarrow \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 }est la « fonction taux d’accroissement » de f en x0. Le nombre dérivé en x0 est la valeur limite de la fonction taux en x0.
Si on pose x = x0 + h, on obtient une autre écriture du nombre dérivé :

f^{ \prime }\left( x0 \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x0+h \right) -f\left( x0 \right) }{ h } }

II- Dérivabilité sur un intervalle

• Si une fonction f (x) est dérivable en tout point de l’intervalle I = ]a ; b[, elle est dite dérivable sur l’intervalle I.
• f est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f′ qui à tout a dans I associe f′(a).

III- Dérivabilité et continuité

f est une fonction définie sur un intervalle I, a est un réel de I. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Une fonction dérivable en un point est continue en ce point.

La réciproque est fausse : une fonction continue n’est pas forcément dérivable. Par exemple la fonction y = |x| est continue mais pas dérivable en x = 0 (les dérivées à gauche et à droite ne sont pas égales). Il en est ainsi pour toutes les fonctions possédant des « pointes ».

IV- Dérivées successives

f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Sa fonction dérivée f′ s’appelle la fonction dérivée première (ou d’ordre 1) de f. Lorsque f′ est dérivable sur I, sa fonction dérivée est notée f′′; f′′ est appelée dérivée seconde (ou dérivée d’ordre 2) de f.

De manière récurrente, pour tout entier naturel n ≥ 2, on définit la fonction dérivée n-ième (ou d’ordre n) comme étant la fonction dérivée de la fonction d’ordre n − 1, f(1) = f′ et pour tout n ≥ 2, f(n) = f(n−1)′

Exemple

f:\quad x\rightarrow \cos { (x) } est une fonction sur R et on a f\prime (x)=-\sin { (x) }, f\prime \prime (x)=-\cos { (x) } , f^{ (3) }\left( x \right) =\sin { (x) }, f^{ (4) }\left( x \right) =\cos { (x) } et ainsi de suite…

V- Dérivée d’une fonction composée

 g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et pour tout x de I, u(x) appartient à J.

Alors la fonction f définie par f\left( x \right) =g\circ u(x)=g\left( u(x) \right) est dérivable sur I et pour tout x de I,

f\prime \left( x \right) =u\prime (x)\times g\prime \left( u(x) \right)

Démonstration

Pour tout a ∈ I, pour tout réel h non nul tel que a + h ∈ I,

\frac { f(a+h)−f(a) }{ h } =\frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ h } =\frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ u(a+h)−u(a) } \times \frac { u(a+h)−u(a) }{ h }

Or u est dérivable en a, d’où l \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { u(a+h)−u(a) }{ h } =u\prime (a) }

De plus, u est dérivable en a, u est donc continue en a, ce qui donne : \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad u(a+h)=u(a) }

On a également u(a) ∈ J et g est dérivable sur J, d’où : \lim _{ X\rightarrow u(a) }{ \quad \frac { g(X)−g(u(a)) }{ X−u(a) } =g\prime (u(a)) }

On obtient alors : \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad \frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ u(a+h)−u(a) } =g\prime (u(a)) }

Donc: \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad \frac { f(a+h)−f(a) }{ h } =u\prime (a)\times g\prime (u(a)) }

et g ◦ u est dérivable en a et (g\circ u)\prime (a)=u\prime (a)×g\prime (u(a))

On retrouve ainsi une propriété vue en première : si g(x) = f(ax + b), alors g'(x) =af′(ax + b)

Exemples

• u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction f définie sur I par f(x)=\sqrt { u(x) } est dérivable sur I, et pour tout x de I : f\prime (x)=\frac { u\prime (x) }{ 2\sqrt { u(x) } }
• u est une fonction dérivable sur un intervalle I et n est un entier naturel non nul. Alors la fonction f définie par f(x)={ [u(x)] }^{ n } est dérivable sur I et pour tout x de I : f\prime (x)={ n[u(x)] }^{ n-1 }\times u\prime (x)

VI- Dérivées et opérations sur les fonctions

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un réel. Alors ku, u + v et uv sont dérivables sur I et :

(ku)\prime =ku\prime ;\quad \quad \quad (u+v)\prime =u\prime +v\prime ;\quad \quad \quad (uv)\prime =u\prime v+uv\prime

Si, de plus v ne s’annule pas sur I, alors \frac { 1 }{ v } \quad et\quad \frac { u }{ v } sont dérivables sur I et :

(\frac { 1 }{ v } )\prime =-\frac { v\prime }{ { v }^{ 2 } } \quad et\quad (\frac { u }{ v } )\prime =\frac { u\prime v-uv\prime }{ { v }^{ 2 } }

Remarque : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de leur domaine de définition.

Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :

VII- Dérivées des fonctions usuelles

 Voici un tableau de la dérivée de quelques fonctions usuelles

VIII- Exercices d’applications

Exercices 1

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

1- f est la fonction définie sur [0; +∞[ par : f(x)=(x−1)\sqrt { x }

2- f est la fonction définie sur R \ {−1; 0} par : f(x)=\frac { { 4x }^{ 2 }+x+2 }{ { x }^{ 2 }+x }

Solution :

1- f est dérivable sur ]0; +∞[, et f(x) = u(x)v(x) avec u(x) = x − 1 et v(x)=\sqrt { x }

On a alors u\prime (x)=1 ; v\prime (x)=\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } et f\prime =u\prime v+uv\prime

f′(x)=1×\sqrt { x } +(x−1)×\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } =\sqrt { x } +\frac { x−1 }{ 2\sqrt { x } }

2- f est dérivable sur R \ {−1; 0}, et f(x)=\frac { u(x) }{ v(x) } avec u(x)=4{ x }^{ 2 }+x+2\quad et\quad v(x)={ x }^{ 2 }+x

On a alors : u\prime (x)={ 8x }+1\quad et\quad v\prime (x)={ 2x }+1\quad et\quad f\prime =\frac { u\prime v−uv\prime }{ { v }^{ 2 } }

donc:

f\prime (x)=\frac { ({ 8x }+1)({ x }^{ 2 }+x)−(4{ x }^{ 2 }+x+2)({ 2x }+1) }{ { ({ x }^{ 2 }+x) }^{ 2 } }

Exercice 2

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

1- f est la fonction définie sur R \ {0} par : f(x)=\sin { (\frac { 1 }{ x } } )

2- f est la fonction définie sur R par :f(x)=\cos { ({ x }^{ 2 } } )

Solution

1- f est dérivable sur R \ {0}. Pour tout x ∈ R \ {0}, f(x)=g\circ u(x)\quad ou\quad u(x)=\frac { 1 }{ x } et\quad g(x)=\sin { (x) }

u\prime (x)=-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \quad et\quad g\prime (x)=\cos { (x) }

On a alors :

f\prime (x)=-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \cos { (\frac { 1 }{ x } ) }

2- f est dérivable sur R. Pour tout réel x, f(x)=g\circ u(x)\quad ou\quad u(x)={ x }^{ 2 }\quad et\quad g(x)=\cos { (x) }

\quad u\prime (x)=2{ x }\quad et\quad g\prime (x)=-\sin { (x) }

On a alors :

\quad f\prime (x)=-{ 2x }\sin { ({ x }^{ 2 }) }

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