Equations différentielles : Cours-Résumés-Exercices corrigés

Une équation différentielle est une équation :

1- Dont l’inconnue est une fonction (généralement notée y(x) ou simplement y) ;

2- Dans laquelle apparaissent certaines des dérivées de la fonction (dérivée première y’ , ou dérivées d’ordres supérieurs\quad { y }^{ \prime \prime },{ y }^{ (3) },…\quad

Une équation différentielle d’ordre n est une équation de la forme :

f(x,y,{ y }^{ \prime },…,{ y }^{ (n) })=0

où F est une fonction de (n + 2) variables.

I- Équation différentielle linéaire

1- Une équation différentielle d’ordre n est linéaire si elle est de la forme :

{ a }_{ 0 }(x){ y }+{ a }_{ 1 }(x){ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }(x){ y }^{ (n) }=g\left( x \right)

où les ai et g sont des fonctions réelles continues sur un intervalle I ⊂ R.

2- Une équation différentielle linéaire est homogène, ou sans second membre, si la fonction g ci-dessus est la fonction nulle :

{ a }_{ 0 }(x){ y }+{ a }_{ 1 } (x){ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }(x){ y }^{ (n) }=0

3- Une équation différentielle linéaire est à coefficients constants si les fonctions ai ci-dessus sont constantes :

{ a }_{ 0 }{ y }+{ a }_{ 1 }{ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }{ y }^{ (n) }=g\left( x \right)

où les ai sont des constantes réelles et g une fonction continue.

Exemples:

• { y }^{ \prime }+5xy={ e }^{ x } est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre.
• { y }^{ \prime }+5xy=0 est l’équation différentielle homogène associée à la précédente.
• 2{ y }^{ \prime \prime }-3{ y }^{ \prime }+5y=0 est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants, sans second membre.
• { y }^{ \prime 2 }-y=x et { y }^{ \prime \prime }.{ y }^{ \prime }-y=0 ne sont pas des équations différentielles linéaires.

II- Équation différentielle linéaire du premier ordre

1- Définition

Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type :

{ y }^{ \prime }=a(x)y+b(x)

où a et b sont des fonctions définies sur un intervalle ouvert I de R.

2- Solutions d’une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre

L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre { y }^{ \prime }+a(x)y=0 est :

f\left( x \right) =C{ e }^{ (-A(x)) }

où C est une constante réelle et A une primitive de a sur l’intervalle I.

3- Problème de Cauchy – I

Le problème de Cauchy associé à une équation linéaire du premier ordre admet une unique solution.

III- Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants

1- Définition

On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants toute équation différentielle de la forme

a{ y }^{ \prime \prime }+b{ y }^{ \prime }+cy=f\left( x \right)

où a, b et c sont trois réels fixés, avec a#0, et f est une fonction de I dans R.

2- Résolution de l’équation linéaire homogène du second ordre

On admettra le théorème de résolution de l’équation linéaire homogène du second ordre suivant :

On considère l’équation

a{ y }^{ \prime \prime }+b{ y }^{ \prime }+cy=0

et son équation caractéristique associée a{ r }^{ 2 }+b{ r }+c=0 . Le tableau ci-dessous donne les solutions de l’équation en fonction du discriminant \triangle ={ b }^{ 2 }-4ac

3- Problème de Cauchy – II

Le problème de Cauchy associé à une équation linéaire du second ordre à coefficients constants admet une unique solution.

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Analyse 2 – Calcul intégral et Equations différentielles : Cours, Résumé, Exercices et Examens corrigés

L’analyse mathématique est l’´étude approfondie du calcul différentiel et intégral.

L’intégrale est un des plus beaux et des plus puissants objets mathématique. Il s’agit sans aucun doute d’une des plus belles inventions de l’esprit humain. En effet, il s’agit tout d’abord d’une pure création de l’esprit au sens où c’est un objet limite, obtenu en passant à la limite sur des subdivisions etc., pas un objet qui existe dans la nature. Ensuite c’est un objet qui permet de calculer des choses très compliquées : pratiquement toutes les surfaces.

Imaginez comment on s’y prenait il y a plusieurs siècles pour calculer des surfaces compliquées : on ne dispose en général que de peu d’outils ou de formules, on est obligé de passer par des approximations par des figures simples (comme les grecs avec le disque qu’ils encadraient par des polygones réguliers). L’intégrale fournit une réponse très puissante et extrêmement simple : il sut de calculer une primitive et de prendre la différence de sa valeur en 2 points ! C’est vraiment surprenant de simplicité.

Il n’y a pas un seul pan des sciences, qu’elles soient physiques, chimiques, biologiques, économiques, informatiques etc. qui ne fasse pas aujourd’hui un usage intensif de l’intégrale. C’est clairement un objet-clef de l’analyse mathématique et des sciences en général.

Il existe des théories plus ou moins fines de l’intégration. Des théories qui permettent de calculer l’intégrale de fonctions plus ou moins compliquées, ou de fonctions qui vivent sur des espaces plus ou moins bizarres (mais nécessaires à un certain niveau).

Plan du cours N°1 d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

Chapitre 1. Calcul Intégrale

1.1. Définition de l’intégrale d’une fonction continue

1.2. Premières propriétés de l’intégrale d’une fonction f sur un segment [a ; b]

1.3. Intégrale d’une fonction bornée

1.4. Dérivation et Intégration

1.5. Techniques de calcul d’intégral

1.6. Formules de la moyenne

1.7. Formule de Taylor–Lagrange avec reste intégrale

1.8. Approximations d’Intégrales

1.9. Exercices 12

Chapitre 2. Intégrales généralisées

2.1. Définition des Intégrales généralisées

2.2. Etude de la convergence

2.3. Calcul des Intégrales généralisées

2.4. Exercices

Chapitre 3. Equations différentielles

3.1. Equations différentielles linéaires d’ordre 1

3.2. Equations se ramenant à une équation linéaire

3.3. Equations différentielles à variables séparées homogènes

3.4. Equations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants

3.5. Exercices

Plan du cours N°2 d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

1- Intégration

1.1 Fonctions en escalier

1.1.1 Subdivisions

1.1.2 Fonctions en escalier

1.1.3 Intégrales de fonctions en escalier

1.2 Fonctions Riemann-intégrables

1.2.1 Construction de l’intégrale de Riemann

1.2.2 Operations sur les fonctions intégrables

1.2.3 Intégrales et inégalités

1.2.4 Intégrales et produits

1.3 Familles de fonctions intégrables

1.3.1 Manipulation de fonctions intégrables

1.3.2 Monotonie

1.3.3 Continuité

1.3.4 Convention et relation de Chasles

1.4 Primitives et intégrales

1.4.1 Le théorème fondamental

1.4.2 Intégration par parties

1.4.3 Changement de variables

1.5 Quelques résultats

1.6 Sommes de Riemann, de Darboux, surfaces etc.

1.6.1 Sommes de Darboux

1.6.2 Sommes de Riemann

1.6.3 Estimation d’erreurs

1.6.4 Lien avec les surfaces

1.7 Intégrales de suites de fonctions

1.7.1 Ce qui ne marche pas

1.7.2 Limite uniforme

2- Dérivées d’ordre supérieures et applications

2.1 Dérivées successives

2.1.1 Définitions

2.1.2 Exemples

2.2 Fonctions convexes et dérivation

2.3 Les formules de Taylor

2.3.1 Rappels sur les comparaisons de fonctions

2.3.2 La formule de Taylor-Young

2.3.3 Développement des fonctions trigonométriques

2.3.4 Développement des fonctions puissances

2.3.5 Développement des fonctions logarithme et exponentielle

2.3.6 Taylor-Lagrange, reste intégral

2.4 Développements limites

2.4.1 Operations sur les développements limites

2.4.2 Applications aux équivalents et limites

3- Etude des courbes planes

3.1 Arcs plans et courbes planes

3.2 Etude des courbes planes

3.3 Les courbes planes en coordonnées polaires

3.4 Longueur de courbe plane

4 – Equations différentielles d’ordre 2

4.1 Equations homogènes a coefficients constants

4.2 Equations a coefficients constants avec second membre

5 – Intégrales impropres

Ci-dessous les liens de téléchargement des cours et résumé d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

Ci-dessous les liens de téléchargement des exercices et examens corrigés d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

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Liste des matières

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