Dérivées : Cours-Résumés-Exercices corrigés

I- Dérivabilité en un point

Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R à valeurs dans R (respectivement C). Soit x0 un réel élément de l’intervalle I.
La fonction f est dérivable en x0 si et seulement si le rapport \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 } a une limite réelle (respectivement complexe) quand x tend vers x0.

Quand f est dérivable en x0, le nombre \lim _{ x\rightarrow x0 }{ \frac { f(x)-f(x0 }{ x-x0 } } s’appelle le nombre dérivé de f en x0 et se note f′(x0).

Ainsi f^{ \prime }\left( x \right) =\lim _{ x\rightarrow x0 }{ \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 } }

La fonction x\rightarrow \frac { f\left( x \right) -f\left( x0 \right) }{ x-x0 }est la « fonction taux d’accroissement » de f en x0. Le nombre dérivé en x0 est la valeur limite de la fonction taux en x0.
Si on pose x = x0 + h, on obtient une autre écriture du nombre dérivé :

f^{ \prime }\left( x0 \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x0+h \right) -f\left( x0 \right) }{ h } }

II- Dérivabilité sur un intervalle

• Si une fonction f (x) est dérivable en tout point de l’intervalle I = ]a ; b[, elle est dite dérivable sur l’intervalle I.
• f est une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction dérivée de f sur I est la fonction f′ qui à tout a dans I associe f′(a).

III- Dérivabilité et continuité

f est une fonction définie sur un intervalle I, a est un réel de I. Si f est dérivable en a, alors f est continue en a. Une fonction dérivable en un point est continue en ce point.

La réciproque est fausse : une fonction continue n’est pas forcément dérivable. Par exemple la fonction y = |x| est continue mais pas dérivable en x = 0 (les dérivées à gauche et à droite ne sont pas égales). Il en est ainsi pour toutes les fonctions possédant des « pointes ».

IV- Dérivées successives

f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Sa fonction dérivée f′ s’appelle la fonction dérivée première (ou d’ordre 1) de f. Lorsque f′ est dérivable sur I, sa fonction dérivée est notée f′′; f′′ est appelée dérivée seconde (ou dérivée d’ordre 2) de f.

De manière récurrente, pour tout entier naturel n ≥ 2, on définit la fonction dérivée n-ième (ou d’ordre n) comme étant la fonction dérivée de la fonction d’ordre n − 1, f(1) = f′ et pour tout n ≥ 2, f(n) = f(n−1)′

Exemple

f:\quad x\rightarrow \cos { (x) } est une fonction sur R et on a f\prime (x)=-\sin { (x) }, f\prime \prime (x)=-\cos { (x) } , f^{ (3) }\left( x \right) =\sin { (x) }, f^{ (4) }\left( x \right) =\cos { (x) } et ainsi de suite…

V- Dérivée d’une fonction composée

 g est une fonction dérivable sur un intervalle J. u est une fonction dérivable sur un intervalle I, et pour tout x de I, u(x) appartient à J.

Alors la fonction f définie par f\left( x \right) =g\circ u(x)=g\left( u(x) \right) est dérivable sur I et pour tout x de I,

f\prime \left( x \right) =u\prime (x)\times g\prime \left( u(x) \right)

Démonstration

Pour tout a ∈ I, pour tout réel h non nul tel que a + h ∈ I,

\frac { f(a+h)−f(a) }{ h } =\frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ h } =\frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ u(a+h)−u(a) } \times \frac { u(a+h)−u(a) }{ h }

Or u est dérivable en a, d’où l \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { u(a+h)−u(a) }{ h } =u\prime (a) }

De plus, u est dérivable en a, u est donc continue en a, ce qui donne : \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad u(a+h)=u(a) }

On a également u(a) ∈ J et g est dérivable sur J, d’où : \lim _{ X\rightarrow u(a) }{ \quad \frac { g(X)−g(u(a)) }{ X−u(a) } =g\prime (u(a)) }

On obtient alors : \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad \frac { g(u(a+h))−g(u(a)) }{ u(a+h)−u(a) } =g\prime (u(a)) }

Donc: \lim _{ h\rightarrow 0 }{ \quad \frac { f(a+h)−f(a) }{ h } =u\prime (a)\times g\prime (u(a)) }

et g ◦ u est dérivable en a et (g\circ u)\prime (a)=u\prime (a)×g\prime (u(a))

On retrouve ainsi une propriété vue en première : si g(x) = f(ax + b), alors g'(x) =af′(ax + b)

Exemples

• u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I. Alors la fonction f définie sur I par f(x)=\sqrt { u(x) } est dérivable sur I, et pour tout x de I : f\prime (x)=\frac { u\prime (x) }{ 2\sqrt { u(x) } }
• u est une fonction dérivable sur un intervalle I et n est un entier naturel non nul. Alors la fonction f définie par f(x)={ [u(x)] }^{ n } est dérivable sur I et pour tout x de I : f\prime (x)={ n[u(x)] }^{ n-1 }\times u\prime (x)

VI- Dérivées et opérations sur les fonctions

u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I et k est un réel. Alors ku, u + v et uv sont dérivables sur I et :

(ku)\prime =ku\prime ;\quad \quad \quad (u+v)\prime =u\prime +v\prime ;\quad \quad \quad (uv)\prime =u\prime v+uv\prime

Si, de plus v ne s’annule pas sur I, alors \frac { 1 }{ v } \quad et\quad \frac { u }{ v } sont dérivables sur I et :

(\frac { 1 }{ v } )\prime =-\frac { v\prime }{ { v }^{ 2 } } \quad et\quad (\frac { u }{ v } )\prime =\frac { u\prime v-uv\prime }{ { v }^{ 2 } }

Remarque : Les fonctions polynômes et rationnelles sont dérivables sur tout intervalle de leur domaine de définition.

Tableau récapitulatif des opérations sur les fonctions dérivables :

VII- Dérivées des fonctions usuelles

 Voici un tableau de la dérivée de quelques fonctions usuelles

VIII- Exercices d’applications

Exercices 1

Déterminer la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes :

1- f est la fonction définie sur [0; +∞[ par : f(x)=(x−1)\sqrt { x }

2- f est la fonction définie sur R \ {−1; 0} par : f(x)=\frac { { 4x }^{ 2 }+x+2 }{ { x }^{ 2 }+x }

Solution :

1- f est dérivable sur ]0; +∞[, et f(x) = u(x)v(x) avec u(x) = x − 1 et v(x)=\sqrt { x }

On a alors u\prime (x)=1 ; v\prime (x)=\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } et f\prime =u\prime v+uv\prime

f′(x)=1×\sqrt { x } +(x−1)×\frac { 1 }{ 2\sqrt { x } } =\sqrt { x } +\frac { x−1 }{ 2\sqrt { x } }

2- f est dérivable sur R \ {−1; 0}, et f(x)=\frac { u(x) }{ v(x) } avec u(x)=4{ x }^{ 2 }+x+2\quad et\quad v(x)={ x }^{ 2 }+x

On a alors : u\prime (x)={ 8x }+1\quad et\quad v\prime (x)={ 2x }+1\quad et\quad f\prime =\frac { u\prime v−uv\prime }{ { v }^{ 2 } }

donc:

f\prime (x)=\frac { ({ 8x }+1)({ x }^{ 2 }+x)−(4{ x }^{ 2 }+x+2)({ 2x }+1) }{ { ({ x }^{ 2 }+x) }^{ 2 } }

Exercice 2

Déterminer les dérivées des fonctions suivantes :

1- f est la fonction définie sur R \ {0} par : f(x)=\sin { (\frac { 1 }{ x } } )

2- f est la fonction définie sur R par :f(x)=\cos { ({ x }^{ 2 } } )

Solution

1- f est dérivable sur R \ {0}. Pour tout x ∈ R \ {0}, f(x)=g\circ u(x)\quad ou\quad u(x)=\frac { 1 }{ x } et\quad g(x)=\sin { (x) }

u\prime (x)=-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \quad et\quad g\prime (x)=\cos { (x) }

On a alors :

f\prime (x)=-\frac { 1 }{ { x }^{ 2 } } \cos { (\frac { 1 }{ x } ) }

2- f est dérivable sur R. Pour tout réel x, f(x)=g\circ u(x)\quad ou\quad u(x)={ x }^{ 2 }\quad et\quad g(x)=\cos { (x) }

\quad u\prime (x)=2{ x }\quad et\quad g\prime (x)=-\sin { (x) }

On a alors :

\quad f\prime (x)=-{ 2x }\sin { ({ x }^{ 2 }) }

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Analyse 2 – Calcul intégral et Equations différentielles : Cours, Résumé, Exercices et Examens corrigés

L’analyse mathématique est l’´étude approfondie du calcul différentiel et intégral.

L’intégrale est un des plus beaux et des plus puissants objets mathématique. Il s’agit sans aucun doute d’une des plus belles inventions de l’esprit humain. En effet, il s’agit tout d’abord d’une pure création de l’esprit au sens où c’est un objet limite, obtenu en passant à la limite sur des subdivisions etc., pas un objet qui existe dans la nature. Ensuite c’est un objet qui permet de calculer des choses très compliquées : pratiquement toutes les surfaces.

Imaginez comment on s’y prenait il y a plusieurs siècles pour calculer des surfaces compliquées : on ne dispose en général que de peu d’outils ou de formules, on est obligé de passer par des approximations par des figures simples (comme les grecs avec le disque qu’ils encadraient par des polygones réguliers). L’intégrale fournit une réponse très puissante et extrêmement simple : il sut de calculer une primitive et de prendre la différence de sa valeur en 2 points ! C’est vraiment surprenant de simplicité.

Il n’y a pas un seul pan des sciences, qu’elles soient physiques, chimiques, biologiques, économiques, informatiques etc. qui ne fasse pas aujourd’hui un usage intensif de l’intégrale. C’est clairement un objet-clef de l’analyse mathématique et des sciences en général.

Il existe des théories plus ou moins fines de l’intégration. Des théories qui permettent de calculer l’intégrale de fonctions plus ou moins compliquées, ou de fonctions qui vivent sur des espaces plus ou moins bizarres (mais nécessaires à un certain niveau).

Plan du cours N°1 d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

Chapitre 1. Calcul Intégrale

1.1. Définition de l’intégrale d’une fonction continue

1.2. Premières propriétés de l’intégrale d’une fonction f sur un segment [a ; b]

1.3. Intégrale d’une fonction bornée

1.4. Dérivation et Intégration

1.5. Techniques de calcul d’intégral

1.6. Formules de la moyenne

1.7. Formule de Taylor–Lagrange avec reste intégrale

1.8. Approximations d’Intégrales

1.9. Exercices 12

Chapitre 2. Intégrales généralisées

2.1. Définition des Intégrales généralisées

2.2. Etude de la convergence

2.3. Calcul des Intégrales généralisées

2.4. Exercices

Chapitre 3. Equations différentielles

3.1. Equations différentielles linéaires d’ordre 1

3.2. Equations se ramenant à une équation linéaire

3.3. Equations différentielles à variables séparées homogènes

3.4. Equations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants

3.5. Exercices

Plan du cours N°2 d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

1- Intégration

1.1 Fonctions en escalier

1.1.1 Subdivisions

1.1.2 Fonctions en escalier

1.1.3 Intégrales de fonctions en escalier

1.2 Fonctions Riemann-intégrables

1.2.1 Construction de l’intégrale de Riemann

1.2.2 Operations sur les fonctions intégrables

1.2.3 Intégrales et inégalités

1.2.4 Intégrales et produits

1.3 Familles de fonctions intégrables

1.3.1 Manipulation de fonctions intégrables

1.3.2 Monotonie

1.3.3 Continuité

1.3.4 Convention et relation de Chasles

1.4 Primitives et intégrales

1.4.1 Le théorème fondamental

1.4.2 Intégration par parties

1.4.3 Changement de variables

1.5 Quelques résultats

1.6 Sommes de Riemann, de Darboux, surfaces etc.

1.6.1 Sommes de Darboux

1.6.2 Sommes de Riemann

1.6.3 Estimation d’erreurs

1.6.4 Lien avec les surfaces

1.7 Intégrales de suites de fonctions

1.7.1 Ce qui ne marche pas

1.7.2 Limite uniforme

2- Dérivées d’ordre supérieures et applications

2.1 Dérivées successives

2.1.1 Définitions

2.1.2 Exemples

2.2 Fonctions convexes et dérivation

2.3 Les formules de Taylor

2.3.1 Rappels sur les comparaisons de fonctions

2.3.2 La formule de Taylor-Young

2.3.3 Développement des fonctions trigonométriques

2.3.4 Développement des fonctions puissances

2.3.5 Développement des fonctions logarithme et exponentielle

2.3.6 Taylor-Lagrange, reste intégral

2.4 Développements limites

2.4.1 Operations sur les développements limites

2.4.2 Applications aux équivalents et limites

3- Etude des courbes planes

3.1 Arcs plans et courbes planes

3.2 Etude des courbes planes

3.3 Les courbes planes en coordonnées polaires

3.4 Longueur de courbe plane

4 – Equations différentielles d’ordre 2

4.1 Equations homogènes a coefficients constants

4.2 Equations a coefficients constants avec second membre

5 – Intégrales impropres

Ci-dessous les liens de téléchargement des cours et résumé d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

Ci-dessous les liens de téléchargement des exercices et examens corrigés d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

Voir aussi:

Liste des matières

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