Logarithme népérien – Logarithme décimal : Cours, Résumé et exercices corrigés

A- Logarithme_népérien

1- Définition

La fonction logarithme népérien, notée ln, est l’unique primitive de la fonction x → 1/x définie sur ] 0 ; +∞ [ qui s’annule en 1.

La fonction ln est la fonction réciproque de la fonction exponentielle x = e^y ⇔ y = ln x

2- Représentation

Les représentations de la fonction logarithme népérien et de la fonction exponentielle sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.

Les fonctions exp et ln sont des fonctions réciproques l’une de l’autre.

3- Propriétés de la fonction logarithme népérien

• La fonction ln est définie sur l’intervalle ]0;+∞[
• ln(1) = 0
• Pour tout réel x > 0, ln′(x) = 1/x
• Pour tous nombres réels a et b strictement positifs, on a : ln(a × b) = ln(a)+ln(b)
• Pour tout nombre réel strictement positif a, ln(1/a) = −ln(a)
• Pour tous nombres réels strictement positifs a et b, ln(a/b) = ln(a)−ln(b)
• Pour tout nombre réel strictement positif a, et pour tout entier relatif n, ln(aⁿ) = n ln(a)
• Pour tout nombre réel strictement positif a,

ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}ln(a)

4- Etude de la fonction logarithme_népérien

4-1. Domaine de définition

• Le domaine de définition de la fonction logarithme est D =]0;+∞[
• Ainsi, dans le cas d’une fonction de la forme f = ln(u), le domaine de définition est donné par les solutions de l’inéquation u(x) > 0.

4-2. Variation de la fonction logarithme_népérien

La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur ]0;+∞[ .

Démonstration

• La fonction ln est dérivable sur ]0;+∞[ donc continue sur cet intervalle.
• La dérivée de la fonction ln est la fonction définie sur ]0;+∞[ par ln′(x) = 1/x. Or si x > 0 alors, 1/x> 0. La dérivée de la fonction ln est strictement positive, donc la fonction ln est strictement croissante sur ]0;+∞[

On déduit de ce théorème les propriétés suivantes :

Pour tous réels a et b strictement positifs :

• ln(a) = ln(b) si, et seulement si, a = b
• ln(a) > ln(b) si, et seulement si, a > b

En particulier, puisque ln1 = 0 :

Pour tout réel x strictement positif :

• lnx = 0 si, et seulement si, x = 1
• lnx > 0 si, et seulement si, x > 1
• lnx < 0 si, et seulement si, 0 < x < 1

4-3. Limites de la fonction logarithme népérien

• La fonction ln a pour limite +∞ en +∞ :

\lim_{x\rightarrow +\infty }x=+\infty 

• La fonction ln a pour limite -∞ en 0 :

\lim_{x\rightarrow 0}x=-\infty 

L’axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe d’équation y = lnx

B- Logarithme décimal

La fonction logarithme_népérien est particulièrement intéressante du fait de sa propriété de transformation d’un produit en somme. Mais comme on utilise, pour écrire les nombres, le système décimal, on lui préfère parfois une autre fonction possédant la même propriété de transformation de produit en somme mais prenant la valeur 1 lorsque x = 10 (et donc la valeur 2 lorsque x = 100, la valeur 3 lorsque x = 1000 etc…)

Cette fonction sera appelée fonction logarithme décimal ou fonction logarithme de base 10.

1. Définition de Logarithme décimal

On appelle fonction logarithme décimal et on note log la fonction définie sur ] 0 ; +∞ [ par : log (x)=ln (x)/ln (10)

2. Propriétés de Logarithme décimal

• log 1 = 0 et log 10 = 1
• Pour tous réels a et b strictement positifs on a :
  • log ( a × b ) = log a + log b ;
  • log 1/a = – log a ;
  • log a/ b = log a – log b ;
  • log a^½ = (½) log a
• Pour tout n ∈ Z, log a ⁿ = n log a

3. Remarques :

La fonction logarithme décimal étant définie par log x = k × ln x avec k = 1/ln 10. Il est facile d’étudier ses variations et de donner sa courbe représentative.

Soit a un réel strictement positif tel que a ≠ 1 . On définit de manière analogue la fonction logarithme de base a, notée log a : log_a(x)=log(x)/log(a)

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Fonction exponentielle : Cours, résumé et exercices corrigés

I- Théorème 1

Démonstration.

Soit f une fonction dérivable sur R telle que f′ = f et f(0) = 1.

Soit g la fonction définie sur R par : pour tout réel x, g(x) = f(x) × f(−x).

La fonction g est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x,

g′(x) = f′(x) × f(−x) + f(x) × (−1) × f′(−x) = f′(x)f(−x) − f(x)f′(−x)

= f(x)f(−x) − f(x)f(−x) (car f′ = f)

= 0.

Ainsi, la dérivée de la fonction g est nulle. On sait alors que la fonction g est une fonction constante sur R.

Par suite, pour tout réel x, g(x) = g(0) = (f(0))² = 1.

On a montré que pour tout réel x, f(x)×f(−x) = 1. En particulier, pour tout réel x, f(x)×f(−x) ≠ 0 puis f(x) ≠ 0.

Ainsi, une fonction f telle que f′ = f et f(0) = 1 ne s’annule pas sur R.

II- Théorème 2

Démonstration

Soient f et g deux fonctions dérivables sur R telles que f′ = f, g′ = g, f(0) = 1 et g(0) = 1.

D’après le théorème 1, la fonction g ne s’annule pas sur R. On peut donc poser h = f / g.

La fonction h est dérivable sur R en tant que quotient de fonctions dérivables sur R dont le dénominateur ne s’annule pas sur R et pour tout réel x,

h^{'}(x)=\frac{f^{'}(x)g(x)-f(x)g^{'}(x)}{(g(x))^{2}}=\frac{f(x)g(x)-f(x)g(x)}{(g(x))^{2}}=0

La dérivée de h est nulle sur R. La fonction h est donc constante sur R.

Par suite, pour tout réel x,

h(x)=h(0)=\frac{f(0)}{g(0)}=\frac{1}{1}=1

Ainsi, pour tout réel x, f(x)/g(x) = 1 ou encore, pour tout réel x, f(x) = g(x). On a montré que f = g ou encore on a montré l’unicité d’une fonction f vérifiant la relation f′ = f et f(0) = 1

III- Définition

IV- Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

1- Relation fonctionnelle

2- Le nombre e. Changement de notation

e = exp(1) = 2, 718 . . ..

3- Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Pour tous réels x et y,

a- Propriétés algébriques N°1

exp(-x)=\frac{1}{exp(x)}

Démonstration :

exp(x)\times exp(-x)=exp(x-x)=1 \: donc exp(-x)=\frac{1}{exp(x)}

exp(x-y)=\frac{exp(x)}{exp(y)}

Démonstration :

exp(x-y)=exp(x+(-y))=exp(x)\times exp(-y)=\frac{exp(x)}{exp(y)}

exp(x)^{y}=exp(xy)

Démonstration :

Si b est un nombre positif

exp(x)^{y}=exp(x)\times exp(x)\times exp(x)\times exp(x)\times....\times exp(x) = exp(x+x+x+....+x)= exp(xy)

exp(xy)=exp(x(-(-y))) \: or \:exp(x(-y))=exp(-xy)

exp(xy)=exp(-(-xy))=exp(xy)

exp(\frac{1}{n})^{n}=e

Démonstration :

exp(\frac{1}{n})^{n}=exp(\frac{1}{n}\times n)=exp(1)=e

V- Propriétés analytiques de la fonction exponentielle

1- Sens de variation de la fonction exponentielle

• La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
• La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
• Pour tous réels x et y, exp(x) < exp(y)  ⇔ x < y.
• Pour tous réels x et y, exp(x) = exp(y)  ⇔ x = y.
• Pour tout réel x, exp(x)  > 1 ⇔ x > 0, exp(x)  = 1 ⇔ x = 0, exp(x)  < 1 ⇔ x < 0.

Exercice:

1. Résoudre dans R l’équation exp(−5x+1) = 1.
2. Résoudre dans R l’équation exp(2x) = 0.
3. Résoudre dans R l’équation exp(x2) = exp(4).

Solution

1) Soit x un réel

exp(-5x+1)=1\Leftrightarrow -5x+1=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{5}

L’ensemble des solutions de l’équation exp(−5x+1) = 1 est : 1/5

2) La fonction exponentielle est strictement positive sur R. Donc l’équation exp(2x) = 0 n’a pas de solution

3) Soit x un réel

exp(x^{2})=exp(4)\Leftrightarrow x^{2}=4\Leftrightarrow x=-2 \:ou \: x=-2

L’ensemble des solutions de l’équation exp(x2) = exp(4 est : {-2;2}

2- Limites de la fonction exponentielle en −∞ et +∞

 \lim_{x\rightarrow +\infty }exp(x)=+\infty

 \lim_{x\rightarrow -\infty }exp(x)=0

\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{exp(x))}{x}=+\infty

\lim_{x\rightarrow -\infty }x.exp(x)=0

Exercice

Calculer les limites suivantes:

 1- \: \lim_{x\rightarrow +\infty }(exp(x)+x+1))

  2- \: \lim_{x\rightarrow -\infty }(exp(x)+x+1))

 1- \:\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}exp(-2x+3)

Solution

1- On a :

\lim_{x\rightarrow +\infty }exp(x)=+\infty

Et d’autre part :

\lim_{x\rightarrow +\infty }x+1=+\infty

En additionnant les deux fonctions, on obtient:

\lim_{x\rightarrow +\infty }(exp(x)+x+1))=+\infty

2- On a :

\lim_{x\rightarrow -\infty }exp(x)=0

Et d’autre part :

\lim_{x\rightarrow -\infty }x+1=-\infty

En additionnant les deux fonctions, on obtient:

\lim_{x\rightarrow -\infty }(exp(x)+x+1))=-\infty

3- On a

\lim_{x\rightarrow -\infty } (-2x+3)=+\infty

\lim_{x\rightarrow -\infty } exp(-2x+3)=\lim_{x\rightarrow +\infty } exp(X)=+\infty

Et d’autre part :

\lim_{x\rightarrow -\infty }x^2=+\infty

En multipliant les deux fonctions, on obtient

\lim_{x\rightarrow -\infty }x^{2}exp(-2x+3)=+\infty

3- Graphe de la fonction exponentielle

On connaît déjà le sens de variation de la fonction exponentielle ainsi que les limites de cette fonction en −∞ et +∞. On peut résumer ces différents résultats dans un tableau de variations suivant:

Représentation graphique de la fonction_exponentielle:

4- Dérivée de la fonction exponentielle x ↦ exp(u(x))

Exercice:

Soit f la fonction définie sur R par : Pour tout réel x, f(x) = xexp(−x²).

Déterminer la dérivée de f.

Solution :

Pour tout réel x, posons u(x) = −x² puis g(x) = exp(−x²) = exp(u(x)). La fonction u est dérivable sur R. Donc, la fonction g est dérivable sur R et pour tout réel x,

g′(x) = u′(x)exp(u(x)) = −2xexp(−x²).

On en déduit que f est dérivable sur R en tant que produit de fonctions dérivables sur R et pour tout réel x,

f′(x) = 1 × exp(−x²) + x × (−2xexp(−x²)) = exp(−x²) − 2x²exp(−x²) = (1 − 2x²)exp(−x²)

5- Primitives de la fonction exponentielle

1- Les primitives sur R de la fonction x ↦ exp(x) sont les fonctions de la forme x ↦ exp(x) + k où k est un réel.

2- Plus généralement, soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. Les primitives sur R de la fonction x ↦ u′(x)eu(x) sont les fonctions de la forme x ↦ eu(x) + k où k est un réel.

En particulier, si a est un réel non nul et b est un réel, les primitives sur R de la fonction x ↦ exp(ax+b) sont les fonctions de la forme x ↦ 1/a exp(ax+b) + k où k est un réel.

VI- conclusion

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