Intégrale de Riemann – Cours et exercices corrigés

L’intégrale de Riemann est un moyen de définir l’intégrale, sur un segment, d’une fonction réelle bornée et presque partout continue. En termes géométriques, cette intégrale est interprétée comme l’aire du domaine sous la courbe représentative de la fonction, comptée algébriquement. ( définition Wikipédia)

Plan du cours sur l’Intégrale de Riemann

1           Construction.

1.1          Intégrale des fonctions en escalier

1.1.1        Subdivisions

1.1.2        Fonctions en escalier 

1.1.3        Intégrale

1.2         Propriétés élémentaires de l’intégrale des fonctions en escalier

1.3         Intégrales de Riemann

1.3.1        Sommes de Riemann, sommes de Darboux

1.3.2        Fonction Riemann-intégrables

1.4         Propriétés élémentaires

1.4.1        Propriétés fondamentales

1.4.2        Intégrales orientées

1.4.3        Sommes de Riemann particulières

2           Caractérisation des fonctions Riemann-intégrables

2.1         Caractérisation de Lebesgues

2.1.1        Ensemble négligeable, propriétés vraies presque partout

2.1.2        Oscillation d’une fonction.

2.1.3        Le théorème de Lebesgue.

2.2         Conséquences.

2.3         Mesure de Riemann.

3           Fonctions réglées.

3.1         Définition, propriétés.

3.2         Exemples.

3.3         Caractérisation

4           Propriétés.

4.1         Intégrale fonction de la borne supérieure.

4.1.1        Continuité, dérivabilité.

4.1.2        Primitives

4.2         Calcul.

4.2.1        Translations, homotéthies.

4.2.2        Intégration par parties

4.2.3        Changement de variable

4.3         Relations, inégalités.

4.3.1        Formules de Taylor

4.3.2        Formules de la moyenne

4.3.3        Inégalités.

5           Intégrales dépendants d’un paramètre.

5.1         Suites d’intégrales

5.2         Continuité sous le signe R

5.3         Dérivabilité sous le signe R

5.4         Théorème de Fubbini.

6           Calcul des primitives.

6.1         Généralité.

6.2         Méthodes

6.2.1        Fractions rationnelles.

6.2.2        Fonctions trigonométriques

6.2.3        Intégrales abéliennes.

6.3         Primitives usuelles.

7           Calculs approchés d’intégrales.

7.1         Interpolation polynomiale

7.1.1        Méthode des rectangles

7.1.2        Méthode des trapèzes

7.2         Formule d’Euler – Mac-Laurin

7.2.1        Polynômes et nombres de Bernoulli

7.2.2        Applications des nombres et polynômes de Bernoulli

7.2.3        La formule d’Euler – Mac-Laurin

7.3         Méthode de Newton

Liens de téléchargement des cours sur l’Intégrale de Riemann

Liens de téléchargement des exercices corrigés sur l’Intégrale de Riemann

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Analyse 2 – Calcul intégral et Equations différentielles : Cours, Résumé, Exercices et Examens corrigés

L’analyse mathématique est l’´étude approfondie du calcul différentiel et intégral.

L’intégrale est un des plus beaux et des plus puissants objets mathématique. Il s’agit sans aucun doute d’une des plus belles inventions de l’esprit humain. En effet, il s’agit tout d’abord d’une pure création de l’esprit au sens où c’est un objet limite, obtenu en passant à la limite sur des subdivisions etc., pas un objet qui existe dans la nature. Ensuite c’est un objet qui permet de calculer des choses très compliquées : pratiquement toutes les surfaces.

Imaginez comment on s’y prenait il y a plusieurs siècles pour calculer des surfaces compliquées : on ne dispose en général que de peu d’outils ou de formules, on est obligé de passer par des approximations par des figures simples (comme les grecs avec le disque qu’ils encadraient par des polygones réguliers). L’intégrale fournit une réponse très puissante et extrêmement simple : il sut de calculer une primitive et de prendre la différence de sa valeur en 2 points ! C’est vraiment surprenant de simplicité.

Il n’y a pas un seul pan des sciences, qu’elles soient physiques, chimiques, biologiques, économiques, informatiques etc. qui ne fasse pas aujourd’hui un usage intensif de l’intégrale. C’est clairement un objet-clef de l’analyse mathématique et des sciences en général.

Il existe des théories plus ou moins fines de l’intégration. Des théories qui permettent de calculer l’intégrale de fonctions plus ou moins compliquées, ou de fonctions qui vivent sur des espaces plus ou moins bizarres (mais nécessaires à un certain niveau).

Plan du cours N°1 d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

Chapitre 1. Calcul Intégrale

1.1. Définition de l’intégrale d’une fonction continue

1.2. Premières propriétés de l’intégrale d’une fonction f sur un segment [a ; b]

1.3. Intégrale d’une fonction bornée

1.4. Dérivation et Intégration

1.5. Techniques de calcul d’intégral

1.6. Formules de la moyenne

1.7. Formule de Taylor–Lagrange avec reste intégrale

1.8. Approximations d’Intégrales

1.9. Exercices 12

Chapitre 2. Intégrales généralisées

2.1. Définition des Intégrales généralisées

2.2. Etude de la convergence

2.3. Calcul des Intégrales généralisées

2.4. Exercices

Chapitre 3. Equations différentielles

3.1. Equations différentielles linéaires d’ordre 1

3.2. Equations se ramenant à une équation linéaire

3.3. Equations différentielles à variables séparées homogènes

3.4. Equations différentielles linéaires d’ordre 2 à coefficients constants

3.5. Exercices

Plan du cours N°2 d’Analyse 2 : Calcul intégral et Equations différentielles

1- Intégration

1.1 Fonctions en escalier

1.1.1 Subdivisions

1.1.2 Fonctions en escalier

1.1.3 Intégrales de fonctions en escalier

1.2 Fonctions Riemann-intégrables

1.2.1 Construction de l’intégrale de Riemann

1.2.2 Operations sur les fonctions intégrables

1.2.3 Intégrales et inégalités

1.2.4 Intégrales et produits

1.3 Familles de fonctions intégrables

1.3.1 Manipulation de fonctions intégrables

1.3.2 Monotonie

1.3.3 Continuité

1.3.4 Convention et relation de Chasles

1.4 Primitives et intégrales

1.4.1 Le théorème fondamental

1.4.2 Intégration par parties

1.4.3 Changement de variables

1.5 Quelques résultats

1.6 Sommes de Riemann, de Darboux, surfaces etc.

1.6.1 Sommes de Darboux

1.6.2 Sommes de Riemann

1.6.3 Estimation d’erreurs

1.6.4 Lien avec les surfaces

1.7 Intégrales de suites de fonctions

1.7.1 Ce qui ne marche pas

1.7.2 Limite uniforme

2- Dérivées d’ordre supérieures et applications

2.1 Dérivées successives

2.1.1 Définitions

2.1.2 Exemples

2.2 Fonctions convexes et dérivation

2.3 Les formules de Taylor

2.3.1 Rappels sur les comparaisons de fonctions

2.3.2 La formule de Taylor-Young

2.3.3 Développement des fonctions trigonométriques

2.3.4 Développement des fonctions puissances

2.3.5 Développement des fonctions logarithme et exponentielle

2.3.6 Taylor-Lagrange, reste intégral

2.4 Développements limites

2.4.1 Operations sur les développements limites

2.4.2 Applications aux équivalents et limites

3- Etude des courbes planes

3.1 Arcs plans et courbes planes

3.2 Etude des courbes planes

3.3 Les courbes planes en coordonnées polaires

3.4 Longueur de courbe plane

4 – Equations différentielles d’ordre 2

4.1 Equations homogènes a coefficients constants

4.2 Equations a coefficients constants avec second membre

5 – Intégrales impropres

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Analyse 1 : Cours, Résumés, Exercices et Examens corrigés

Plan du cours d’Analyse 1

1-Les réels

1.1 Un peu d’histoire

1.2 Introduction aux nombres réels

1.2.1 Quelques règles de calcul

1.3 Intervalles de R

1.4 Voisinage

1.5 Bornes supérieures, inférieures, maximum et minimum

1.6 Valeur absolue

1.7 Partie entière

2- Les fonctions d’une variable réelle

2.1 Notions de bases sur les fonctions

2.2 Quelques propriétés des fonctions

2.2.1 Les opérations algébriques

2.2.2 La restriction

2.2.3 Fonctions définies par morceaux

2.2.4 Fonctions majorées, minorées, bornées

2.3 La composition

2.3.1 Monotonie

2.3.2 Parité

2.3.3 Fonctions périodiques

2.4 Injectivité, surjectivité, bijectivité

3- Limites d’une fonction

3.1 Limites finie d’une fonction en un point

3.2 Limites infinie d’une fonction en un point

3.3 Limites à droite, limite à gauche

3.4 Limites d’une fonction en +∞ ou -∞

3.5 Propriétés des limites

3.5.1 Unicité de la limite, majoration, minoration

3.5.2 Limites et comparaison

3.6 Opérations algébriques sur les limites

3.6.1 Limite d’une somme de fonctions

3.6.2 Limite d’un produit de fonctions

3.6.3 Limite d’un quotient de fonctions

3.7 Autres propriétés sur les limites

3.7.1 Limite et composée

3.7.2 Limite et monotonie

3.7.3 Critère de Cauchy

4- Quelques fonctions usuelles

4.1 Fonction constante

4.2 Fonction identité

4.3 Fonction valeur absolue

4.4 Fonction partie entière

4.5 Fonction puissances entières  

4.6 Fonction polynôme

4.7 Fonction racine n-ième, puissance rationnelle

4.8 Fonction homographique

4.9 Fonction logarithme népérien

4.10 Fonction exponentielle

4.11 Fonctions circulaires (ou trigonométriques)

4.11.1 Fonction sinus

4.11.2 Fonction cosinus

4.11.3 Fonction tangente

4.11.4 Fonction cotangente

4.12 Fonctions hyperboliques

4.12.1 Fonction cosinus hyperbolique

4.12.2 Fonction sinus hyperbolique

4.12.3 Fonction tangente hyperbolique

4.12.4 Fonction cotangente hyperbolique

4.13 Fonctions réciproques usuelles

4.13.1 Réciproque d’une fonction homographique

4.13.2 Réciproque de la fonction sinus : la fonction arc sinus

4.13.3 Réciproque de la fonction cosinus : la fonction arc cosinus

4.13.4 Réciproque de la fonction tangente : la fonction arc tangente

4.13.5 Propriétés des fonctions arc sinus, arc cosinus et arc tangente

4.13.6 Equations du type sin(x) = a, cos(x) = a et tan(x) = a

4.13.7 Réciproque des fonctions sh et th

5- Continuité des fonctions

5.1 Caractérisation de Weierstrass

5.2 Continuité, opérations algébriques et composition

5.3 Théorèmes sur la continuité

5.4 Continuité, monotonie, injectivité et bijectivité

6- Dérivée d’une fonction

6.1 Définition de la dérivabilité de f

6.2 Dérivabilité et continuité

6.3 Dérivabilité, opérations algébriques et composition

6.4 Dérivée et monotonie

6.5 Dérivées et extrema

6.6 Théorèmes fondamentaux sur les dérivées

6.7 Dérivées des fonctions usuelles

6.8 Dérivées successives

6.8.1 Dérivée n^ième

6.8.2 Classes de fonction

6.8.3 Fonction de classe n

6.8.4 Fonction de classe infini

6.8.5 Dérivée n^ième  d’une somme de fonctions

6.8.6 Dérivée n^ième  d’un produit de fonctions

6.8.7 Dérivée n^ième de la composée de deux fonctions.

6.9 Fonctions convexes .

7- Les suites

7.1 Définition

7.2 Deux suites classiques

7.2.1 Suites arithmétiques

7.2.2 Suites géométrique

7.3 Récurrence d’ordre 2

7.4 Limite de suites

7.4.1 Introduction

7.4.2 Opération algébriques sur les limites

7.4.3 Résultats sur les limites de suites

7.5 Suites réelles et monotonie

7.6 Suites adjacentes

7.7 Suites extraites

7.8 Critère de Cauchy

7.9 Fonctions et suites

8- Equations différentielles

8.1 Equation simple

8.1.1 Equation x’ = 0

8.1.2 Equation x’ = ax(t)

8.2 Différents types d’équations

8.3 Equation linéaire

8.4 Solutions

8.5 Equations différentielles linéaire d’ordre 1

8.5.1 Définition

8.5.2 Primitives

8.5.3 EDO linéaire sans second membre

8.5.4 EDO linéaire avec second membre

8.5.5 Cas particulier

8.5.6 Existence et unicité

8.6 Equations différentielles linéaire d’ordre 2

8.6.1 Définition

8.6.2 Equations différentielle homogène à coefficients constants

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Liens de téléchargement des exercices corrigés d’Analyse 1

Liens de téléchargement des examens corrigés d’Analyse 1

Voir aussi :

Liste des Matières

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