Nombres complexes : Cours et exercices corrigés

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Nombre complexe est tout nombre de la forme a+ib ou a et b sont deux nombre réels et ou i est un nombre tel que i2 = -1. L’ensemble des nombres complexes est noté dans С.

Pour un nombre complexe z= a+ ib, a est la partie réelle de z et b est la partie imaginaire.

On note alors Re(z) la partie réelle et Im(z) la partie imaginaires. Si un nombre complexe z a sa partie imaginaire nulle il s’agit alors d’un nombre réel, si un nombre complexe a sa partie réelle nulle on dit que c’est un imaginaire pur.

Remarque : La partie imaginaire d’un nombre complexe est un nombre réel.

Le nombre i

On appelle i un nombre dont le carré est –1. On décrète que i est la racine de -1. Ainsi : i2 = -1. De plus, son opposé -i a aussi pour carré -1. En effet : (-i)2 = [(-1) × i]2 = (-1)2 × i2 = -1

  • Les deux racines de -1 sont deux nombres irréels i et -i.
  • Le nombre i est appelé nombre imaginaire.
  • La forme factorisée de x2+ 1 est (x + i) . (x – i)
Conjugué d’un nombre complexe

Soient a et b deux nombres réels. Le nombre complexe conjugué de Z = a + bi est le nombre complexe Z = a – bi.

Plan du cours sur Nombre complexe
1 Bref historique
2 Forme algébrique des nombres complexes

2.1 Définition de C

2.1.1 Définition des opérations

2.1.2 Propriétés de l’addition et de la multiplication

2.1.3 Inverse d’un nombre complexe non nul

2.2 Les différents ensembles de nombres

2.3 Parties réelle et imaginaire d’un nombre complexe

2.3.1 Egalité de deux nombres complexes sous forme algébrique

2.3.2 Parties réelle et imaginaire. Définitions et propriétés

2.4 Représentation géométrique d’un nombre complexe

2.5 Conjugué d’un nombre complexe

2.6 Module d’un nombre complexe

3 Le second degré dans C

3.1 Transformation canonique

3.2 Racines carrées d’un nombre complexe

3.3 L’équation du second degré dans C

3.4 Factorisation d’un trinôme du second degré

3.5 Le discriminant réduit

3.6 Somme et produit des racines

3.7 Le cas particulier de l’équation à coefficients réels

4 Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul

4.1 Nombres complexes de module 1. La notation e

4.2 Forme trigonométrique d’un nombre complexe non nul. Arguments d’un nombre complexe non nul

4.3 Application à la trigonométrie

4.3.1 Les formules d’Euler

4.3.2 Polynômes de Tchebychev

4.3.3 Linéarisation de polynômes trigonométriques

4.4 Applications à la géométrie

4.4.1 Cercles et disques

4.4.2 Interprétation géométrique d’un argument de (d – c) /(b – a)

5 Racines n-èmes d’un nombre complexe

5.1 Racines n-èmes de l’unité

5.2 Racines n-èmes d’un nombre complexe

6 Similitudes planes directes

6.1 Translations, homothéties, rotations

6.1.1 Translations

6.1.2 Homothéties

6.1.3 Rotations

6.2 Etude des transformations z → az + b

7 Exponentielle d’un nombre complexe

7.1 Définition

7.2 Propriétés

7.3 Dérivée de eϕ où ϕ est à valeurs dans C


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