Le théorème central limite est un théorème-clé en théorie des probabilités. Il souligne le rôle central des variables gaussiennes, qui peuvent être vues comme le comportement global d’une multitude de petits phénomènes. Par exemple, les chocs de molécules d’eau sur une molécule de pollen ou les effets des conditions atmosphériques sur le plan de vol d’un avion peuvent être modélisés par des variables gaussiennes. En pratique, quand n ≥ 30, le théorème central limite fournit une bonne approximation de la situation.
Le théorème central limite établit que la loi normale apparait chaque fois que la grandeur aléatoire observée peut être présentée comme la somme d’un nombre suffisamment grand de composantes élémentaires indépendantes ou faiblement liées, dont chacune influe peu sur la somme.
Variable aléatoire discrète et continue
On appelle variable aléatoire discrète X, une fonction qui associe à chaque résultat d’une expérience, une valeur xi inconnue d’avance, parmi un ensemble de valeurs possibles x1, . . . , xn.
On appelle variable aléatoire continue X, une fonction qui associe à chaque résultat d’une expérience, une valeur x inconnue d’avance, sur un ensemble fini ou non de valeurs possibles [a, b].
Théorème central limite
Soient X1, X2, . . . , Xn, des variables aléatoires indépendantes de même loi de répartition, d’espérance mathématique mx et de variance σ2. Lorsque n augmente indéfiniment la loi de répartition de la somme :
Plan du cours Théorème central limite
1. Variable aléatoire. Espérance. Moments. Variance.
2. Inégalité de Bienaymé-Tchébychev
3. Fonctions de variables aléatoires
3.1. Somme de deux variables aléatoires
3.2. Produit de deux variables aléatoires
4. Théorème central limite
4.1. Fonction caractéristique
4.2. Fonction caractéristique de la loi normale
4.3. Somme de deux lois normales
4.4. Théorème central limite
5. Les lois des grands nombres
5.1. Théorème de Tchebychev
5.2. Théorème de Tchebychev généralisé
5.3. Théorème de Markov
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