Equations différentielles : Cours-Résumés-Exercices corrigés
Une équation différentielle est une équation :
1- Dont l’inconnue est une fonction (généralement notée y(x) ou simplement y) ;
2- Dans laquelle apparaissent certaines des dérivées de la fonction (dérivée première y’ , ou dérivées d’ordres supérieurs\quad { y }^{ \prime \prime },{ y }^{ (3) },…\quad
Une équation différentielle d’ordre n est une équation de la forme :
f(x,y,{ y }^{ \prime },…,{ y }^{ (n) })=0
où F est une fonction de (n + 2) variables.
1- Une équation différentielle d’ordre n est linéaire si elle est de la forme :
{ a }_{ 0 }(x){ y }+{ a }_{ 1 }(x){ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }(x){ y }^{ (n) }=g\left( x \right)
où les ai et g sont des fonctions réelles continues sur un intervalle I ⊂ R.
2- Une équation différentielle linéaire est homogène, ou sans second membre, si la fonction g ci-dessus est la fonction nulle :
{ a }_{ 0 }(x){ y }+{ a }_{ 1 } (x){ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }(x){ y }^{ (n) }=0
3- Une équation différentielle linéaire est à coefficients constants si les fonctions ai ci-dessus sont constantes :
{ a }_{ 0 }{ y }+{ a }_{ 1 }{ y }^{ \prime }+…+{ a }_{ n }{ y }^{ (n) }=g\left( x \right)
où les ai sont des constantes réelles et g une fonction continue.
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation du type :
{ y }^{ \prime }=a(x)y+b(x)
où a et b sont des fonctions définies sur un intervalle ouvert I de R.
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle linéaire homogène du premier ordre { y }^{ \prime }+a(x)y=0 est :
f\left( x \right) =C{ e }^{ (-A(x)) }
où C est une constante réelle et A une primitive de a sur l’intervalle I.
Le problème de Cauchy associé à une équation linéaire du premier ordre admet une unique solution.
On appelle équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients
constants toute équation différentielle de la forme
a{ y }^{ \prime \prime }+b{ y }^{ \prime }+cy=f\left( x \right)
où a, b et c sont trois réels fixés, avec a#0, et f est une fonction de I dans R.
On admettra le théorème de résolution de l’équation linéaire homogène du second ordre suivant :
On considère l’équation
a{ y }^{ \prime \prime }+b{ y }^{ \prime }+cy=0
et son équation caractéristique associée a{ r }^{ 2 }+b{ r }+c=0 . Le tableau ci-dessous donne les solutions de l’équation en fonction du discriminant \triangle ={ b }^{ 2 }-4ac
Le problème de Cauchy associé à une équation linéaire du second ordre à coefficients constants admet une unique solution.
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Cours sur les Equations différentielles N°1
Cours sur les Equations différentielles N°2
Cours sur les Equations différentielles N°3
Cours sur les Equations différentielles N°4
Cours sur les Equations différentielles N°5
Cours sur les Equations_différentielles N°6
Cours sur les Equations_différentielles N°7
Cours sur les Equations_différentielles N°8
Cours sur les Equations_différentielles N°9
Cours sur les Equations_différentielles N°10
Cours sur les Equations_différentielles N°11
Résumé sur les Equations différentielles N°1
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Résumé sur les Equations_différentielles N°5
Exercices corrigés sur les Equations différentielles N°1
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