Tableau de KARNAUGH : Cours et Exercices corrigés

Tableau de KARNAUGH : Cours et Exercices corrigés

Le tableau de Karnaugh est un outil graphique qui permet de simplifier de manière méthodique une équation logique ou le processus de passage d’une table de vérité à son circuit correspondant. Bien que les tableaux de Karnaugh soient applicables à des problèmes ayant un nombre quelconque de variables d’entrée, ils ne sont plus d’une grande utilité en pratique quand le nombre de variables dépasse 6 ou 7. Dans ce cas, il est préférable de traiter le problème avec un programme informatique.

Chaque tableau de Karnaugh est associé à une seule variable de sortie de la table de vérité.

Chaque case du tableau correspond à une combinaison des variables d’entrées, donc à une ligne de la table de vérité.

Le tableau de Karnaugh aura autant de cases que la table de vérité possède de lignes.

Les lignes et les colonnes du tableau sont numérotées selon le code binaire réfléchi, donc chaque fois que l’on passe d’une case à l’autre, une seule variable change d’état.

Remarque : On peut numéroter les cases pour que ce soit plus facile à remplir, mais attention à l’ordre de numérotation !

Exemple :

La représentation se fait sous forme de tableau comme ceux données ci-dessous :

Fonction de 2 variables : dans ce cas la fonction possède 2 variables, le tableau à donc 4 cases

	$\bar { a }$ 0	a 1
$\bar { b }$ 0	$\bar { a }$ . $\bar { b }$	a. $\bar { b }$
b 1	$\bar { a }$ .b	a.b

Fonction de 3 variables : on a ici 8 monômes possibles (8 cases).

	$\bar { a }$ . $\bar { b }$ 0 0	$\bar { a }$ .b 0 1	a.b 1 1	a. $\bar { b }$ 0 0
$\bar { c }$ 0	$\bar { a }$ . $\bar { b }$ . $\bar { c }$	$\bar { a }$ .b. $\bar { c }$	a.b. $\bar { c }$	a. $\bar { b }$ . $\bar { c }$
c 1	$\bar { a }$ . $\bar { b }$ .c	$\bar { a }$ .b.c	a.b.c	a. $\bar { b }$ .c

Principe de simplification du tableau de Karnaugh

Étape 1 : on utilise la table de vérité de la fonction logique comme brique initiale.

a	b	c	f	$\bar { f }$
0	0	0	0	1
0	0	1	0	1
0	1	0	0	1
0	1	1	1	0
1	0	0	0	1
1	0	1	1	0
1	1	0	1	0
1	1	1	1	0

Étape 2 : à partir de cette table, on fabrique le tableau de Karnaugh correspondant. Pour cela, on part de la valeur 1 de la fonction logique et on cherche tous les monômes correspondant

	$\bar { a }$ . $\bar { b }$ 0 0	$\bar { a }$ .b 0 1	a.b 1 1	a. $\bar { b }$ 0 0
$\bar { c }$ 0			a.b. $\bar { c }$
c 1		$\bar { a }$ .b.c	a.b.c	a. $\bar { b }$ .c

Étape 3 : on procède à la simplification entre les monômes adjacents 2 à 2 (au minimum).

$\bar { a }$ .b.c+a.b.c=( $\bar { a }$ +a).b.c=b.c
a .b. $\bar { c }$ +a.b.c=a.b.( $\bar { a }$ +c)=a.b
a.b.c+a. $\bar { b }$ .c=a.(b+ $\bar { b }$ ).c=a.c

La fonction simplifiée est la somme des monômes simplifiés cad f = b.c + a.b + a.c

Règles de simplifications

1. Au lieu d’écrire les monômes on met des 1

2. Le nombre possible de cases à regrouper est ${ 2 }^{ n }$ , cad , 2, 4, 8, 16, ….

3. Il faut essayer de faire des groupes les plus grands possibles.

4. Toutes les cases contenant des 1 doivent être utilisées au moins une fois.

5. Construire le plus petit nombre de groupement compatible avec ce qui précède.

6. Ne pas inclure une case plusieurs fois sauf si cela permet de réaliser un groupement plus important.

Résumé de la méthode de Karnaugh

On détermine le nombre de variables d’entrée afin de connaître la taille des tableaux.
On détermine le nombre de variables de sortie afin de définir le nombre de tableaux à effectuer.
Affecter aux différents produits de l’équation non simplifiée une case du tableau en respectant le code Gray.
Introduire la fonction logique dans le tableau en positionnant à « 1 » les cases qui valident la fonction de sortie.
Effectuer les groupements de cases adjacentes.
Sortir la fonction simplifiée en éliminant la ou les variables d’entrée qui changent d’état.

Pour plus de détails télécharger les documents ci-dessous: