Probabilité : Cours-Résumés -Exercices-corrigés
La théorie des probabilités fournit des modèles mathématiques permettant l’´étude d’expériences dont le résultat ne peut être prévu avec une totale certitude.
Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé … sont des expériences aléatoires, car avant de les effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat, résultat qui dépend en effet du hasard.
A cette expérience aléatoire, on associe l’ensemble des résultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités.
Pour décrire mathématiquement une expérience aléatoire, on choisit un modèle de cette expérience ; pour cela on détermine l’univers et on associe à chaque événement élémentaire un nombre appelé probabilité.
Soit Ω = {a1, a2, …, an} un ensemble fini. on définit une loi de probabilité sur Ω si on choisit des nombres p1, p2, …, pn tels que, pour tout i, 0 ≤ pi ≤ 1 et p1 + p2 + … + pn = 1 ; pi est la probabilité élémentaire de l’événement {ai} et on note pi = p({ai}) ou parfois plus simplement p(ai).
On dit qu’il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
Dans une situation d’équiprobabilité, si Ω a n éléments et si E est un événement composé de m événements élémentaires : p(E)=\frac { Card\quad E }{ Card\quad \Omega } où card E et card Ω désignent respectivement le nombre d’éléments de E et de Ω. On le mémorise souvent en disant que c’est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles.
Une variable aléatoire X est une application définie sur un ensemble E muni d’une probabilité P, à valeurs dans R.
Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1, x2, …, xn avec les probabilités p1, p2, …, pn. On appelle respectivement espérance mathématique de X, variance de X et écart-type de X , les nombres suivants :
On jette une pièce.
On peut représenter cette expérience par l’arbre pondéré ci-dessous :
p désigne une probabilité sur un univers fini Ω. A et B étant deux événements de Ω, B étant de probabilité non nulle.
Si A et B sont tous deux de probabilité non nulle, alors les probabilités conditionnelles p(A/B) et p(B/A) sont toutes les deux définies et on a : p(A ∩ B) = p(A/B)p(B) = p(B/A)p(A).
A et B sont 2 événements de probabilité non nulle.
Deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants si et seulement si ils vérifient une des trois conditions : p(A/B) = p(A) ou p(B/A) = p(B) ou p( A ∩ B) = p(A)p(B).
X et Y sont deux variables définies sur l’univers Ω d’une expérience aléatoire ; X prend les valeurs x1, x2, …, xn et Y prend les valeurs y1, y2, …, yq. Définir la loi du couple (X, Y) c’est donner la probabilité pi,j de chaque événement [(X = xi) et (Y = yj)].
Soient Ω un univers associé à une expérience aléatoire et n un entier ≥ 2. Les événements A1, A2, …, An forment une partition de Ω si les trois conditions suivantes sont réalisées :
Formule des probabilités totales
Soient A1, A2, …, An une partition de l’univers Ω constituée d’événements de probabilités non nulles et B un événement quelconque contenu dans Ω. Alors :
Une alternative est une épreuve à deux issues possibles :
Sa loi de probabilité est appelée loi de Bernoulli de paramètre p.
Exemple
Un dé cubique est mal équilibré : la probabilité d’obtenir 6 est de 1/7.
On appelle succès l’événement « obtenir 6 » et échec « obtenir un numéro différent de 6 ».
Cette expérience qui ne comporte que deux issues suit une loi de Bernoulli. Si On effectue cinq fois cette expérience. On est en présence d’un schéma de Bernoulli.
Théorème
Pour une loi de Bernoulli de paramètre p, l’espérance est p et l’écart type est \sqrt { pq }
Soit un schéma de Bernoulli constitué d’une suite de n épreuves. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus, alors :
Théorème
Pour une loi Binomiale de paramètres n et p, l’espérance est np et l’écart type est n \sqrt { npq }
Exemple
Dans l’exemple précédent, on appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de succès à l’issue des 5 lancés. On obtient les probabilités suivantes :
P1 =0,3856 ; P2 = 0,1285 ; P3 = 0,0214 ; P4 = 0,0018 ; P5 = 0,0001
Pour plus de détails télécharger les documents ci-dessous:
Cours de Probabilité N°1
Cours de Probabilité N°2
Cours de Probabilité N°3
Cours de_Probabilité N°4
Cours de_Probabilité N°5
Cours de_Probabilité N°6
Cours de_Probabilité N°7
Résumé de Probabilité N°1
Résumé de Probabilité N°2
Résumé de Probabilité N°3
Résumé de Probabilité N°4
Résumé de Probabilité N°5
Résumé de Probabilité N°6
Résumé de Probabilité N°7
Résumé de Probabilité N°8
Exercices corrigés de Probabilité N°1
Exercices corrigés de Probabilité N°2
Exercices corrigés de Probabilité N°3
Exercices corrigés de_Probabilité N°4
Exercices corrigés de_Probabilité N°5
Exercices corrigés de_Probabilité N°6
Exercices corrigés de Probabilité N°7
View Comments
c'est interessant
Vraiment c'est très important plus précisément les résumés