Gaz parfait : Cours et exercices corrigés

Gaz parfait – Cours et exercices corrigés

Définition

Un gaz parfait est un fluide idéal qui satisfait à l’équation d’état p.v=n.RT, ou encore c’est un gaz qui obéit rigoureusement aux trois lois. MARIOTTE, GAY .LUSSAC et CHARLES.

On désigne par ‘v’ le volume d’une unité de masse, de gaz parfait et par ‘Vm’ le volume molaire d’un gaz parfait avec :

1 mole =6,023.1023 Molécules = A (nombre d’Avogadro).

On considère une masse gazeuse occupant le volume V sous la pression P et la température T.

Loi de MARIOTTE.

Enoncé de la loi :

A température constante, le produit de la pression d’une masse gazeuse par son volume est constant (cette loi est d’origine expérimentale)

Sous faibles pressions, tous les gaz se comportent de la même manière quelque soit leur nature.

Par définition, un gaz parfait sera un gaz pour lequel,

P.V = Cte loi de MARIOTTE.

Pour un gaz parfait, le produit P.V ne dépend que de la température P.V = f(T). La relation précédente à température constante peut s’écrit P = Cte/ V , ce qui conduit à un second énoncé de la loi de MARIOTTE

Seconde forme de la loi de MARIOTTE.

A température constante, la pression d’une masse gazeuse est inversement proportionnelle au volume qu’elle occupe.

Si on considère deux états différents d’une même masse gazeuse à la même température avec :

• P₁ et V₁ pression et volume à l’état (1).
• P₂ et V₂ pression et volume à l’état (2), la loi de MARIOTTE sera alors :

P₁V₁ = P₂V₂

Loi de GAY-LUSSAC.

Enoncé de la loi :

A pression constante, l’augmentation de volume d’un gaz parfait (dilatation ou détente) est proportionnelle à la température absolue.

V/T = Cte  Ou V=Cte.T loi de GAY-LUSSAC.

Si on considère deux états différents d’une même masse gazeuse à la même pression avec :

• T₁ et V₁ température et volume à l’état (1).
• T₂ et V₂ température et volume à l’état (2).

On a la relation :

\frac{V_{1}}{T_{1}+273}=\frac{V_{2}}{T_{2}+273} \quad \Rightarrow  \quad\frac{V_{1}}{T_{1}}=\frac{V_{2}}{T_{2}}

Seconde forme de la relation.

Soit une masse gazeuse chauffée à pression constante,

• V₀ est le volume à 0°c = 273°k
• V est le volume à t°c = (273+t)°k

D’après GAY-LUSSAC on à :

\frac{V}{t+273}=\frac{V_{0}}{273} \quad \Rightarrow  \quad V=V_{0}\frac{t+273}{273}=V_{0}\left ( 1+\frac{t}{273} \right )

D’où V =V₀(1+αt) avec α=1/273 coefficient de dilatation du gaz.

Loi de CHARLES (ou 2eme loi de GAY-LUSSAC).

Enoncé de la loi :

A volume constant, l’augmentation de pression d’un gaz parfait est proportionnelle à l’élévation de la température. On a :

P/T = Cte

Si on considère deux états différents d’une même masse gazeuse dans lesquelles elle occupe le même volume. La pression et la température sont :

• P₁ et T₁ pression et température à l’état (1).
• P₂ et T₂ pression et température à l’état (2).

On a la relation

Seconde forme de la relation.

Soit P₀ et P les pressions à 0°c et t°c d’une même masse gazeuse dont le volume est invariant (constant) on a :

\frac{P}{t+273}=\frac{P_{0}}{273} \quad \Rightarrow  \quad P=P_{0}\left ( 1+\frac{t}{273} \right )

Où P = P₀(1+ βt) avec β=1/273 Coefficient d’augmentation de pression.

Caractéristiques d’un gaz parfait :

Equation d’état.

On recherche l’équation qui lie les paramètres d’état (p, v,T). On considère une (U.D.M) d’un gaz parfait dans deux états différents :

• Etat (1) : (P, V, T)
• Etat (2) : (P’, V’, T’)

Imaginons un 3^ème état où la pression est P, la température est T’. Etat (3) : (P, V’’, T’).

On passe à pression constante de l’état (1) à l’état (3), on a donc en vertu de la loi de GAY-LUSSAC.

\frac{V}{T}=\frac{V^{''}}{T^{'}} \quad(1)

On passe de l’état (3) à l’état (2), la température étant constante, on a donc en vertu de la loi de MARIOTTE :

P′′.V ′′ = P′.V ′ (2)

En multipliant membre à membre les deux équations (1) et (2) on obtient :

\frac{P.V.V^{''}}{T}=\frac{P^{'}.V^{'}.V^{''}}{T^{'}} \Rightarrow \frac{P.V}{T}=\frac{P^{'}.V^{'}}{T^{'}} = Cte

Pour un gaz parfait on à

\frac{P.V}{T} = Cte

Pour l’unité de masse (UDM) cette constante est appelée (r), l’équation d’état devient :

P.v = rT

Ici, v : est le volume massique tel que v = 1/ ρ et r : dépend du gaz considéré.

Pour une masse m de gaz parfait, occupant le volume V sous la pression P et à température T, l’équation d’état devient :

PV = mrT

Pour l’air, qui est considéré comme un gaz parfait, r vaut : 287 J/kg°K.

Si on considère une masse molaire M de gaz parfait, elle occupe le volume V, on peut écrire :

P.V = MrT = RT

Avec : R=M.r tel que R : constante universelle des gaz parfait indépendante du gaz considéré. Donc pour 1Mole de gaz parfait, l’équation d’état devient :

P.v = RT

Ici, v : représente le volume molaire = 22,4 L

Pour n moles de gaz parfait occupant un volume V, sous la pression P et la température T, l’équation d’état devient :

P.V = nRT

Avec R=8.32J/Mole °K pour tous les gaz

Mélange des gaz parfaits

On considère un mélange de gaz chimiquement inerte (mélange qui ne donne pas lieu à une réaction chimique).

Loi de DALTON –GIBBS

Soit V, le volume occupé par le mélange. Chaque gaz occupe le volume V comme s’il été seul sous une pression P_i appelée pression partielle.

La pression du mélange est égale à la somme des pressions partielles des gaz composants.

P=\sum_{1}^{n}P_{i}

Exemple

Mélange de 2 gaz (1) et (2)

• P₁V = n₁RT (n₁ moles gaz (1))
• P₂V = n₂RT (n₂ moles gaz (2))

(P₁+P₂).V = (n₁+n₂).RT ou P.V = n.R.T tels que n : nombre de moles du mélange et P la pression du mélange.

De plus, les gaz étant chimiquement inertes, l’énergie interne du mélange est égale à la somme des énergies des 2 gaz et ne dépend donc, que de la température de n gaz.

Conclusion 

Un mélange de gaz parfaits chimiquement inertes est un gaz parfait.

Exercices corrigés sur les gaz parfaits

Exercice 1

On donne R = 8,31 SI.

1) Quelle est l’équation d’état de n moles d’un gaz parfait dans l’état P, V, T ? En déduire l’unité de R.

2) Calculer numériquement la valeur du volume molaire d’un gaz parfait à une pression de 1 bar et une température de 0°C. On donne 1 bar = 10⁵ Pa.

Solution de l’exercice 1:

1 – L’équation d’état d’un gaz parfait est : PV = nRT. On en déduit que R=PV/nT et que par suite, R est en J.mol^-1.K^-1.

2 – D’après la formule précédente :

V=\frac{R.T}{P} = \frac{8,31\times 273}{101300}

Donc V = 22,4.10⁻³ m³.mol⁻¹ = 22,4 L.mol⁻¹

Exercice 2

On note v le volume massique en m³.kg^-1 d’un gaz parfait de masse molaire M.

1) Montrer que l’équation d’état de ce gaz peut s’écrire Pv = rT. Préciser l’expression de r et son unité.

2) On donne : M(O) = 16 g.mol^-1 ; R = 8,31 SI ; 1 bar = 10⁵ Pa.

Calculer la valeur de r pour le dioxygène.

3) En déduire le volume massique du dioxygène à 300 K et 1 bar.

Solution de l’exercice 2

1 –  L’équation d’état du gaz est : Pv = nRT, n désignant le nombre de moles de gaz contenu dans une masse m = 1 kg.

Nous avons donc :

Pv=\frac{R}{M}T=rT

D’où :

r=R/M ==> Unité de r: J.kg –¹.K –¹

2 – Calcule de la valeur de r pour le dioxygène.

r=\frac{R}{M}=\frac{8,31}{32\times 10^{-3}}=260J.Kg^{-1}.K^{-1}

3 – Volume massique du dioxygène à 300 K et 1 bar.

D’après Pv = rT, on tire :

v = 0,772 m³.kg ⁻¹

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