Algèbre 2 : Cours, Résumés, TD corrigés et Examens corrigés

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On dit que E est un espace vectoriel de dimension finie si et seulement si E admet une partie génératrice de cardinal fini (c’est-à-dire contenant un nombre fini d’éléments)

Montrer qu’une application linéaire est inversible n’est à priori pas une chose évidente. Le déterminant permettra, dans certains cas, de montrer si c’est le cas ou non. Il permettra aussi, toujours dans certains cas, de résoudre des systèmes ou bien d’obtenir l’inverse d’une matrice. Enfin il servira à la diagonalisation et la trigonalisation des endomorphismes d’un espace vectoriel.

Un espace vectoriel réel de dimension finie muni d’un produit scalaire s’appelle un espace vectoriel euclidien ou plus simplement un espace euclidien

Définitions :

• Une matrice colonne est une matrice qui n’a qu’une colonne.
• Une matrice ligne est une matrice qui n’a qu’une ligne.
• Une matrice carrée est une matrice qui a autant de ligne que de colonne. Ce nombre s’appelle l’ordre de la matrice. L’ensemble des matrices carrées d’ordre n.
• Une matrice triangulaire supérieure est une matrice carrée dont les coefficients sous la diagonale sont tous nuls (mi j = 0 si i > j).

Plan du cours d’algèbre 2

1 Calcul matriciel

1.1 Définitions et propriétés

1.2 Opérations sur les matrices

1.2.1 Addition

1.2.2 Multiplication par un scalaire

1.2.3 Multiplication des matrices

1.3 Matrices élémentaires

1.3.1 Opérations élémentaires sur une matrice

1.3.2 Application pour déterminer l’inverse d’une matrice carrée

2 Déterminants

2.1 Déterminant d’ordre 2

2.2 Déterminant d’ordre 3

2.3 Déterminant d’ordre n

2.4 Applications

2.4.1 Calcul de l’inverse d’une matrice carrée d’ordre n

2.4.2 Résolution de systèmes linéaires ( Méthode de Cramer )

3 Espaces Vectoriels

3.1 Espaces vectoriels

3.2 Sous-Espaces vectoriels

3.3 Famille Génératrice

3.4 Dépendance et Indépendance Linéaires – Bases

3.5 Existence de Bases (en dimension finie)

3.6 Les Théorèmes Fondamentaux sur la Dimension

3.7 Somme, Somme directe, Sous-Espaces Supplémentaires

4 Les Applications Linéaires

4.1 Applications Linéaires

4.2 Image et Noyau

4.3 Matrices Associées aux Applications Linéaires

4.4 Matrice d’un Vecteur. Calcul de l’Image d’un Vecteur

4.5 Matrice de l’Inverse d’une Application

4.6 Changement de Bases

4.7 Rang d’une Matrice

4.8 Matrices Remarquables

4.9 Application des Déterminants à la Théorie du Rang

4.9.1 Caractérisation des Bases

4.9.2 Comment reconnaître si une famille de vecteurs est libre

4.9.3 Comment reconnaître si un vecteur appartient à l’espace engendré par d’autres vecteurs

4.9.4 Détermination du rang

5 Valeurs Propres et Vecteurs Propres

5.1 Valeurs Propres et vecteurs propres

5.2 Propriétés des vecteurs propres et valeurs propres

5.3 Propriétés du polynôme caractéristique

5.4 Diagonalisation

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